Exercice 1 tp

Un terrain OABC en forme de trapèze rectangle en O et C ; OA=10m ; OC=10,2m et CB=4m.
Son propriétaire a souhaité en exploiter une parite sous la forme rectangulaire et sa superficie au maximum.

Déterminer sa longueur et sa largeur.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par
f(x)= cos(x) + sin(2x).
Montrer que f est périodique de période 2π.

Correction

Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.
La fonction h: x→sin(2x) est périodique de période π car (a) (∀x∈IR) ona x+π∈IR et x-π∈IR.

(b) Soit x∈IR h(x+π)=sin2(x+π)
=sin(2x+2π)=sin(2x)
donc h(x+π)=h(x).
La période de la fonction cosinus est 2π alors la plus grande période T=2π qui doit être prise.
(∀x∈IR) on a (x+π∈IR et x-π∈IR)
f(x+2π)=cos(x+2π)+sin2(x+2π)
=cos(x)+sin(2x+4π)=cos(x)+sin(2x)
donc (∀x∈IR): f(x+2π)=f(x)
ainsi f est périodique de période 2π.

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	sinx
	x²+1

Montrer que f est bornée.

Correction

D={x∈IR/ x²+1≠0}=IR.
Soit x∈IR on a |sinx|≤1 et x²+1>0.

Donc

| f(x) | ≤	1
	x²+1

(∀x∈IR): x²≥0 ou encore x²+1 ≥ 1 donc

1	≤ 1
x²+1

ou encore ∀x∈IR: | f(x) |<1
et cela signifie que f est bornée.

Exercice 3 tp

Soit f une fonction numérique définie par f(x)= x²-4x+2.
1) Montrer que (∀x∈IR) f(4-x)=f(x).
2) (D) est une droite d'équation x=2
(a) On considère un point M(x;f(x)) de la courbe (C) de f et M'(x';y') un point du plan.
Déterminer x' et y' en fonction de x ou y de façon que (D) soit médiatrice du segment [MM'].

(b) Montrer que M'∈(C).
(c) Que peut on dire de la droite (D) par rapport à (C) ?