Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	1
	x-1

1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Montrer que pour tout x∈D on a f(2-x)=-f(x).
3) Soit I(1 ; 0) un point du plan
(a) On considère M(x;f(x)) un point de la courbe de f et M'(x';y') un point du plan.
Déterminer x' et y' en fonction de x et y tel que I soit milieu du segment [MM'].

(b) Montrer que M' est un point de la courbe (C) de f.
(c) Que peut on dire du point I par rapport à (C) ?

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie sur l'intervalle

I=[	-1	;	1	]	par f(x)=sin(πx +	π	)
	4		4			4

Montrer que f est strictement croissante sur I.

Correction

On pose

g(x) = πx +	π
	4

La fonction sin est définie sur IR
et la fonction g est définie sur IR donc g(IR)⊂IR ainsi la fonction f est définie sur IR et en particulier sur l'intervalle I
donc f(x)=sin(g(x)) pour x∈I.
La fonction g est strictement croissante sur IR et en particulier sur I.

Notons que sin n'est pas une fonction monotone sur IR.
On doit donc déterminer g(I).

x∈I⇔	-1	≤ x ≤	1
	4		4
⇔	-π	≤ πx ≤	π
	4		4

⇔	-π+π	≤	πx +	π	≤	2π
	4			4		4

x∈I⇔ g(x)∈[0;	π	]
	2
g(I)=[0;	π	]=J
	2

puisque la fonction sin est strictement croissante sur J alors f est strictement croissante sur I.

Exercice 3 tp

Soient f et g deux fonctions définies par f(x)=x²-1 et g(x)=-x³.
1) Déterminer les variations de f et g.

2) Déterminer l'ensemble de définition de gof et fog.
3) Déterminer les variations de gof et fog.

Correction

1) (a) f est une fonction de référence -b÷(2a)=0 et a=1
f est donc strictement croissante sur IR⁺ et strictement décroissante sur IR^-.

x		-∞		0		+∞
f			↘	-1	↗

(b) g est une fonction de référence et a=-1<0
donc g est strictement décroissante sur IR.

x	-∞		+∞
g		↘

2) D_f=IR et D_g=IR
(a) D_g=IR donc f(IR)⊂D_g ainsi D_gof=IR.

IR	f →	IR	g →	IR
x	→	(x²-1)	→	-(x²-1)³
IR	gof →			IR

f est strictement croissante sur IR et g strictement décroissante sur IR donc la fonction gof est strictement décroissante sur IR.
(b) D_f=IR donc g(IR)⊂D_f ainsi D_fog=IR.

IR	g →	IR	f →	IR
x	→	-x³	→	(-x³)²-1
IR	fog →			IR

g est strictement croissante sur IR et f est strictement décroissante sur IR donc la fonction fog est strictement décroissante sur IR.