Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique défini par

f(x) =	√(x+1) + 3
	√(x+1) - 2

1) Déterminer D domaine de définition de f.
2) Décomposer f en composé de deux fronctions.
3) Etudier les variations de f sur D.
4) Tracer le tableau de variations de f.

Correction

1) D={x∈IR/ x+1≥0 ∧ x+1≠4}
=[-1;3[∪]3;+∞[.
2) On pose u(x)=√(x+1) et v la fonction numérique définie par

v(x) =	x + 3
	x - 2

(∀x∈D): f(x)=	u(x) + 3
	u(x) - 2

D_u=[-1;+∞[ ; D_v=IR\{2}
la fonction vou est définie si x≠3 et u(D_u)⊂D_v
on a donc f=vou et x∈[-1;3[∪]3;+∞[
3) Pour étudier la monotonie de f, il suffit d'étudier la monotonie de chacune des fonctions u sur D_u\{3} et v sur D_v
La fonction u telle que u(x)=√(x+1) est une composée de deux fonctions
la fonction x→(x+1) est strictement croissante sur IR et en particulier sur D_u\{3}.

La fonction √ est strictement croissante sur [0;+∞[
et on a u(D_u\{3})⊂IR⁺
donc la fonction u est strictement croissante sur D_u\{3}.
La fonction v est strictement décroissante sur chacun des intervalle ]-∞;2[ et ]2;+∞[.

	1	3	= 1.(-2)-1.3=-5< 0
	1	-2

On déduit donc que f est strictement décroissante sur chacun des intervalles [-1;3[ et ]3;+∞[ (nous soulignons sur les deux intervalles et pas nécessairement sur leur union).
4) Tableau de variations

x	-1			3			+∞
f		↘		||		↘