Exercice 1 tp

Soient f et g deux fonctions définies par f(x)=2x-1 et

g(x) =	x
	x+1

1) Déterminer les variations de f et g.
1) Déterminer le domaine de définition de gof.
2) Déterminer les variations de gof.

Correction

1) f est une fonction affine donc D_f=IR et puisque a=2>0 alors f est strictement croissante sur IR
g est une fonction rationnelle donc elle est définie si son dénominateur non nul c'est à dire si x+1≠0 ou encore x≠-1 donc D_g=IR\{-1}

	1	0	=1.1-1.0=1>0
	1	1

g est strictement croissante sur les deux intervalles ]-∞-1[ et ]-1;+∞[.
2) D_gof={x∈D_f / f(x)∈D_g}.
f(x)∈D_g ⇔ f(x)≠-1
⇔ 2x-1≠-1 ⇔x≠0
donc D_gof=IR*.

IR	f →	IR\{-1}	g →	IR
x	→	2x-1	→	2x-1
				(2x-1)+1
IR*	gof →			IR

f est strictement croissante sur IR et en particulier sur IR*.
f(IR*)⊂D_g donc gof est strictement croissante sur IR*.

Exercice 2 tp

Soient f et g deux fonctions définies par
f(x)=-2x+1.

g(x) =	4x - 5
	x - 3

1) Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions f et g.

2) Déterminer les variations de gof sur chacun des intervalles
]-∞;-1[ et ]-1;+∞[.

Correction

1) (a) f est un binôme donc D_f=IR.
a=-2< 0 donc f est strictement croissante sur IR.

x	-∞		+∞
f		↘

f(IR)=IR.

(b) Monotonie de g
D_g=]-∞;3[∪]3;+∞[.

	4	-5	= 4.(-3)-1.(-5)=-7< 0
	1	-3

g est strictement décroissante sur les deux intervalles ]-∞;3[ et ]3;+∞[

x	-∞			3			+∞
g		↘		||		↘

2) Monotonie de gof sur chacun des intervalles
]-∞;-1[ et ]-1;+∞[.
D_gof={x∈D_f / f(x)∈D_g}
f(x)∈Dg ⇔ f(x)≠3
⇔ -2x+1≠3 ⇔ x≠-1
D_gof =]-∞;-1[∪]-1;+∞[.
On a f(-1)=3 et f(]-∞;-1[)=]3;+∞[⊂]3;+∞[
puisque f et g ont la même variation alors gof est strictement croissante sur
]-∞;-1[.

On af(-1)=3 et f(]-1;+∞[)=]-∞;3[⊂]-∞;3[
puisque f et g ont la même variation donc gof est strictement croissante sur
]-1;+∞[
ainsi gof est strictement croissante sur les deux intervalles ]-∞;-1[ et ]-1;+∞[.

x	-∞			3			+∞
gof		↗		||		↗

gof(x)=	4(-2x+1) - 5	=	8x+1
	-2x-2		2x+2