Exercice 1 tp

Calculer les limites suivantes

lim 0	sin2x		lim 0	tan9x
	sin4x			sin3x

Correction

lim 0	sin2x	=	lim 0	sin2x	× lim 0	4x
	sin4x			2x		2sin4x

lim 0	sin2x	= 1
	2x

lim 0	4x	=	lim 0	(	sin4x	)-1 = 1
	sin4x				4x

donc	lim 0	sin2x	=	1
		sin4x		2

lim 0	tan9x	=	lim 0	tan9x	× lim 0	3.3x
	sin3x			9x		sin3x

donc

lim 0	tan9x	= 3
	sin3x

Exercice 2 tp

Calculer la limite suivante

lim 0	xsin(2x)
	1-cos(2x)

Correction

lim 0	xsin(2x)
	1-cos(2x)

On peut utiliser les formules trigonométriques.

Première méthode
1-cos(2x)=2sin²(x)
et sin(2x)=2sin(x)cos(x)
donc

	lim 0	xsin(2x)
		1-cos(2x)
=	lim 0	2xcosxsinx
		2sin²(x)
=	lim 0	x	.cos(x)
		sin(x)

cos0= 1

lim 0	x	=	lim 0	(	sinx	)-1 = 1
	sinx				x

donc

lim 0	xsin(2x)	= 1
	1-cos(2x)

Deuxième méthode
on pose

A(x) =	xsin(2x)
	1-cos(2x)

On a	lim 0	sin(2x)	= 1
		2x

et	lim 0	1-cos2x	=	1
		(2x)²		2

A(x) =	2x²	sin2x
		2x
	4x²	1-cos2x
		(2x)²

on simplifie par 2x² avec x≠0.

Donc

lim 0	A(x) =	lim 0	sin2x
			2x
		2lim 0	1-cos2x
			(2x)²

ainsi

lim 0

A(x) = 1