Limite d'une fonction (16)
Exercice 1 tp
Calculer la limite suivante
| lim - π/3 |
x- | π | |
| 3 | |||
| tan(x- | π | ) | |
| 3 | |||
Exercice 2 tp
Calculer la limite suivante
| lim π/4 |
-1+sin2x | ||
| x- | π | ||
| 4 | |||
Exercice 3 tp
Calculer la limite suivante
lim π |
cos(x) + 1 |
| x-π |
Exercice 4 tp
Calculer la limite suivante
lim (π/4) |
cosx - sinx |
| x-(π/4) |
Correction
On utilise la transformation trigonométrique
cos(x)-sin(x)=?
| a=1 | b=-1 | √(a²+b²)=√(2) |
(∃α∈IR):
cos(x)-sin(x)=cosαcosx-sinαsinx=√(2)(cos(x+α)) tel que
| { | cosα = | √(2) |
| 2 | ||
| sinα = | - √(2) | |
| 2 |
il suffit donc de prendre
| α = | -π |
| 4 |
ainsi
lim (π/4) |
cosx - sinx |
| x-(π/4) |
| = | lim (π/4) |
√(2)cos(x+ | π | ) | 1 | |
| 4 | x-(π/4) |
on applique la propriété suivante
| cos(X) = sin( | π | - X) |
| 2 |
lim (π/4) | cosx - sinx | |||
| x-(π/4) | ||||
= lim (π/4) | √(2)sin( | π | -x) | 1 |
| 4 | x-(π/4) |
on pose T = x - (π/4) donc T→0 alors
lim (π/4) | cosx - sinx | |
| x-(π/4) | ||
= lim T→0 | - √(2)sin(T) | =- √(2) |
| T |
Exercice 5 tp
Calculer la limite suivante
lim - ∞ |
sin(x) |
| x |
Correction
(∀x∈IR): -1 ≤sinx≤1.
x→-∞ ⇒ x≤0 ⇒ -x≥0.
| sin(x) | ≤ | 1 | ||
| x | |x| |
| sin(x) | ≤ | - 1 | ||
| x | x | |||
| 1 | ≤ | sin(x) | ≤ | -1 |
| x | x | x |
lim - ∞ |
1 | = | lim - ∞ |
1 | = | 0 |
| x | x |
donc
lim - ∞ |
sin(x) | = 0 |
| x |