النهايات (1)
تمرين 1 tp
1) لتكن
f و g دالتين عدديتين بحيث
f(x)=-7x³+3x²-5 ; g(x)=5x³+8x-7
احسب
lim-∞f(x) ;
lim+∞g(x).
2) لتكن
h و t دالتين عدديتين بحيث
| h(x)= | 4x+3 | ; t(x) | 3x-1 |
| 7x-2 | 4x²+5x |
lim-∞h(x) ; lim+∞t(x)
تصحيح
1) لدينا lim-∞f(x)=lim-∞-7x³=-(-∞)=+∞
ولدينا lim+∞g(x)=lim+∞5x³=+∞
2) لدينا
lim -∞ | h(x)= | lim -∞ | 4x | = | 4 |
| 7x | 7 |
lim +∞ | t(x)= | lim +∞ | 3x |
| 4x² | |||
| = | lim +∞ | 3 | =0 |
| 4x |
تمرين 2 tp
احسب النهايات التالية
1) lim-∞2x+√(x²+1)
2) lim+∞-5x+√(7x²+2)
تصحيح
1) نضع f(x)=2x+√(x²+1)
التعويض المباشر شكل غير محدد اذن يمكن ان نفكر في التعميل او المرافق
lim -∞ | f(x)= | lim -∞ | 2x+√(x²(1+ | 1 | )) |
| x² |
lim -∞ | f(x)= | lim -∞ | x(2-√(1+ | 1 | )) |
| x² |
lim -∞ | √(1+ | 1 | )=1 |
| x² |
2) نضع g(x)=-5x+√(7x²+2)
التعويض المباشر شكل غير محدد اذن يمكن ان نفكر في التعميل او المرافق
lim +∞ | g(x)= | lim +∞ | -5x+√(x²(7+ | 2 | )) |
| x² |
lim +∞ | g(x)= | lim +∞ | x(-5+√(7+ | 2 | )) |
| x² |
lim +∞ | √(7+ | 2 | )=√(7) |
| x² |
تمرين 3 tp
احسب النهايات التالية
lim 0 | sin2x | ; lim 0 | tan3x |
| sin4x | sin9x |
تمرين 4 tp
احسب النهايات التالية
lim 0 | xsin(2x) |
| 1-cos(2x) | |
; lim (π/4) | cosx - sinx |
| x-(π/4) |
تصحيح
lim 0 | xsin(2x) |
| 1-cos(2x) |
1-cos(2x)=2sin²(x)
و sin(2x)=2sin(x)cos(x)
اذن
lim 0 | xsin(2x) | |
| 1-cos(2x) | ||
=lim 0 | 2xcosxsinx | |
| 2sin²(x) | ||
=lim 0 | x | .cos(x) = 1.1=1 |
| sin(x) |
lim (π/4) | cosx - sinx |
| x-(π/4) |
cos(x)-sin(x)=?
a=1 ; b=-1 ; √(a²+b²)=√(2) اذن
∃α∈IR : cos(x)-sin(x)=cosαcosx-sinαsinx=√(2)(cos(x+α))
بحيث
| cosα = | √(2) | ; sinα = | - √(2) |
| 2 | 2 |
| α = | -π |
| 4 |
ومنه فان
lim (π/4) | cosx - sinx | |||
| x-(π/4) | ||||
= lim (π/4) | √(2)cos(x+ | π | ) | 1 |
| 4 | x-(π/4) |
| cos(X) = sin( | π | - X) لدينا الخاصية |
| 2 |
lim (π/4) | cosx - sinx | |||
| x-(π/4) | ||||
= lim (π/4) | √(2)sin( | π | -x) | 1 |
| 4 | x-(π/4) | |||
= lim T→0 | - √(2)sin(T) | =- √(2) | ||
| T |