النهايات (4)
تمرين 18 tp
احسب نهايات الدالة f عند 0 على اليمين وعلى اليسار
| f(x)= | sinx |
| 1-cosx |
تصحيح
لدينا
| lim 0 | sinx | = 1 ; | lim 0 |
1-cosx | = | 1 |
| x | x² | 2 |
lim 0+ |
f(x)= | lim 0+ |
sinx | ( | x² | )=+ ∞ |
| x.x | 1-cosx | |||||
lim 0- |
f(x)= | lim 0- |
sinx | ( | x² | )=- ∞ |
| x.x | 1-cosx |
تمرين 19 tp
نعتبر الدالة f المعرفة ب
| f(x)= | √(x²-4) |
| x+2 |
2) احسب نهايات الدالة f عند محداتها
تصحيح
1) D={x∈IR / (x²-4≥0) ∧ (x+2≠0)}
= ]-∞;-2[∪[2;+∞[
2) نبحث عن نهاية f عند +∞ اذن x+2>0 ومنه فان
x+2=√(x+2)²
| f(x)= | √(x²-4) | = √( | x²-4 | ) |
| √(x+2)² | (x+2)² |
اذن
| f(x) = √( | x-2 | ) |
| x+2 |
lim +∞ |
x-2 | = lim +∞ |
x | =1 |
| x+2 | x | |||
| ⇒ | lim +∞ |
f(x)= | √(1)=1 |
نبحث عن نهاية f عند -∞ اذن x+2< 0
ومنه فان x+2=- √(x+2)²
| f(x)= | -√(x²-4) | =- √( | x²-4 | ) |
| √(x+2)² | (x+2)² |
اذن
| f(x) =- √( | x-2 | ) |
| x+2 |
lim -∞ | x-2 | = lim -∞ | x | =1 |
| x+2 | x | |||
| ⇒ | lim -∞ |
f(x)= | - √(1)= - 1 |
تمرين 20 tp
نعتبر الدالة f المعرفة ب
| f(x)=√( | 5x-10 | ) |
| x+2 |
2) احسب نهايات الدالة f عند محداتها
تصحيح
1) D={x∈IR / f(x)∈IR}
| D={ | 5x-10 | ≥0 ∧ (x≠-2)} |
| x+2 |
2) لدينا
lim 2 | 5x-10 | = | 0 | =0 |
| x+2 | 4 |
ومنه فان
lim 2 | f(x)= | lim 2 | √( | 5x-10 | ) = 0 |
| x+2 |
lim +∞ | 5x-10 | = | lim +∞ | 5x | =5 |
| x+2 | x |
lim +∞ | √( | 5x-10 | ) = √(5) |
| x+2 |
lim +∞ | f(x) | = √(5) |
نبحث عن نهاية f عند -∞
lim -∞ | 5x-10 | = | lim -∞ | 5x | =5 |
| x+2 | x |
lim -∞ | √( | 5x-10 | ) = √(5) |
| x+2 |
lim -∞ | f(x) | = √(5) |
x< -2 ⇔x+2 < 0
اذن
lim (-2)- |
5x-10 = -10 < 0 |
lim (-2)- |
x+2 = 0- |
lim -2- | 5x-10 | = | -10 | = +∞ |
| x+2 | 0- |
lim -2- | √( | 5x-10 | ) = +∞ |
| x+2 |
lim -2- | f(x)= | = +∞ |