Limite d'une fonction (6)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| { | f(x)= x²-2x+2 | si x<-1 |
| f(x) = -x³+4x² | si x≥-1 |
1) La fonction f admet elle une limite au point -1 ?
2) Calculer
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
Correction
D=]-∞;-1[∩[-1;+∞[=IR.
La fonction f est définie sur deux intervalles
et -1∈[-1;+∞[ donc f(-1) doit être calculée dans l'expression
f(x)=-x³+4x²
et donc f(2)=-(-1)³+4.(-1)² = 5
lim (-1)- |
f(x) = | lim (-1)- |
x²-2x+2 = (-1)²-2(-1)+2 |
ainsi
lim (-1)- |
f(x) = 5 |
Et on a
lim (-1)+ |
f(x) = | lim (-1)+ |
-x³+4x² |
donc
lim (-1)+ |
f(x) = 5 |
et donc f admet une limite au point -1 car la limite à gauche et la limite à droite à -1 sont égales et par suit
lim -1 |
f(x) = 5 |
2) (x→-∞) ⇒ (x<-1)
donc f(x)=x²-2x+1.
lim - ∞ |
f(x) = | lim - ∞ |
x²-2x+2 |
| = | lim - ∞ |
x² |
donc
lim - ∞ |
f(x) = +∞ |
(x→ +∞) ⇒ (x>-1)
donc f(x)=-x³+4x².
lim + ∞ |
f(x) = | lim + ∞ |
-x³+4x² |
| = | lim + ∞ |
-x³ |
ainsi
lim + ∞ |
f(x) = -∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| { | f(x) = | x²-25 | si x < 5 | x-5 |
| f(x) = | x - √(x) | si x≥5 |
1) La fonction f admet elle une limite au point 5 ?
2) Calculer
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
Exercice 3 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | √(|x|) |
| x |
Calculer les limites de f en -∞ et en 0-.
Correction
D=IR*=]-∞;0[∩]0;+∞[.
Si x<0 alors |x|=-x.
Si x>0 alors |x|=x.
lim -∞ |
f(x) = | lim +∞ |
√(-x) | = | lim -∞ |
-1 |
| x | √(-x) |
donc
lim -∞ |
f(x) = 0 |
lim 0- |
f(x) = | lim 0- |
√(-x) | = | lim 0- |
-1 |
| x | √(-x) |
donc
lim 0- |
f(x) = -∞ |