Limite d'une fonction (9)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
f(x)=x²-x-√(x²-2).
Calculer les limites suivantes
lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
Correction
(a) Limite en -∞
lim -∞ |
f(x) | = | lim -∞ |
x²-x-|x|√(1- | 2 | ) |
| x² |
x→-∞ donc x est négatif
ainsi |x|=-x.
lim -∞ |
f(x) | = | lim -∞ |
x²-x+x√(1- | 2 | ) |
| x² |
| = | lim -∞ |
x²(1- | 1 | + | 1 | √(1- | 2 | )) |
| x | x | x² |
On a
lim -∞ |
1 | = 0 |
| x |
| et | lim -∞ |
(1- | 2 | ) = 1 |
| x² |
| ⇒ | lim -∞ |
√(1- | 2 | ) = 1 |
| x² |
donc
lim -∞ |
(1- | 1 | + | 1 | √(1- | 2 | )) = 1 |
| x | x | x² |
| ainsi | x²(1- | 1 | + | 1 | √(1- | 2 | )) = +∞ |
| x | x | x² |
| alors | lim -∞ |
f(x) = +∞ |
(b) Limite en +∞
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x²-x-|x|√(1- | 2 | ) |
| x² |
x→+∞ donc x est positif
ainsi |x|=x.
lim +∞ |
f(x) | = | lim +∞ |
x²-x-x√(1- | 2 | ) |
| x² |
| = | lim +∞ |
x²(1- | 1 | - | 1 | √(1- | 2 | )) |
| x | x | x² |
| On a | lim +∞ | 1 | = 0 |
| x |
| et | lim +∞ |
(1- | 2 | ) = 1 |
| x² |
| ⇒ | lim +∞ |
√(1- | 2 | ) = 1 |
| x² |
donc
lim +∞ |
(1- | 1 | - | 1 | √(1- | 2 | )) = 1 |
| x | x | x² |
ainsi
| x²(1- | 1 | - | 1 | √(1- | 2 | )) = +∞ |
| x | x | x² |
| alors | lim +∞ |
f(x) = +∞ |
Exercice 2 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x+√(x)-3 |
| x-1 |
1) Montrer que ∀x∈IR+\{1}
| f(x) = 2 + | √(x)-1 |
| x-1 |
2) Calculer
lim 1 |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |