Exercice 1 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	√(2x²+1) - x√(3)
	x-1

Calculer la limite suivante

lim 1

f(x)

Correction

Calcul direct est une forme indéterminée
on peut utiliser le conjugué

lim 1	f(x) =	lim 1	√(2x²+1) - x√(3)
			x-1
	=	lim 1	(2x²+1) - 3x²
			(x-1)(√(2x²+1) + x√(3))
	=	lim 1	1-x²
			(x-1)(√(2x²+1) + x√(3))

=	lim 1	-(x-1)(x+1)
		(x-1)(√(2x²+1) + x√(3))
=	lim 1	-(x+1)
		√(2x²+1) + x√(3)
=		-2
		2√(3)

donc

lim 1	f(x) =	- √(3)
		3

Exercice 2 tp

Soit f une fonction numérique définie par

f(x) =	x-1
	x-2√(x)+1

Calculer les limites suivantes

lim 1

f(x)

lim +∞

f(x)

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x)= √(x²-1)-√(x²+x).
Calculer

lim -∞

f(x)

Correction

Calcul direct est une forme indéterminée
On utilise le conjugué
x→ -∞ donc x≠0.

f(x) =

x²-1 - (x²+x)	=	-x-1
√(x²-1)+√(x²+x)		√(x²-1)+√(x²+x)

=		x(-1 -	1	)
			x
	|x|(√(1-	1	)+√(1+	1	))
		x²		x

x→-∞ ⇒ |x|=-x et x≠0 donc

f(x) =		(-1 -	1	)
			x
	-(√(1-	1	)+√(1+	1	))
		x²		x

On a

lim -∞	1+	1	=1 ⇒	lim +∞	√(1+	1	) = 1
		x				x

et	lim +∞	(1-	1	) = 1
			x²
⇒	lim +∞	√(1-	1	) = 1
			x²

donc

lim -∞	f(x) =	1
		2