تمرين 1 tp

حدد نفي كل من العبارات التالية
1. ∀x∈IR, x+1=10
2. ∃x∈IR, x+1=10
3. ∀x∈IR, x> 0
4.∃x∈IR, x≤2.

تمرين 2 tp

اكتب العبارة التالية باستعمال المكممات
1. كل عدد نسبي له مقابل
2. ليس لكل عدد حقيقي مقلوبا
3. الجزء الصحيح لعدد حقيقي عدد صحيح نسبي

تمرين 3 tp

حدد نفي العبارات التالية
1) (∀x∈IR)(∃n∈IN) / n > x
2) (∀x∈IR)(∃n∈ℤ) / n≤ x < n+1
3) ∀(x;y)∈E²: f(x)=f(y) ⇒ x=y
4) ∀(x;y)∈IR²:
√(x²+1) + √(y²+1)=2 ⇔ (x=0) ∧ (y=0)

تمرين 4 tp

حل النظمة التالية :

{	x²-4=0
	y=3

تصحيح

((x²-4=0)∧ y=3) ⇔([(x-2)(x+2)=0]∧y=3)
⇔ [(x=2∨x=-2)]∧y=3
⇔(x=2∧y=3)∨(x=-2∧y=3)
وبالتالي S={(2;3) ; (-2;3)}

تمرين 5 tp

حل النظمة التالية

{	x²-4=0
	(y-1)(y+3)=0

تمرين 6 tp

ليكن ABC مثلثا بحيث AB=25; AD=12; AE=14 et AC=30 et E∈[AC] et F∈[AB]
هل (DE)||(BC) ?

تصحيح

نفترض ان المستقيمين متوازيان (DE)||(BC) .
: حسب مبرهنة طاليس ان

AB	=	AC
AD		AE
25	=	30
12		14

اي 25.14=12.30
اي 350=360 وهذا غير ممكن,
نستنتج اذن ان المستقيمين (DE) و (BC)غير متوازيين

تمرين 7 tp

بين ان ∀n∈IN; a∈IR+: (1+a)ⁿ≥1+na

تصحيح

نبين بالترجع ان الخاصية ∀n∈IN; a∈IR+: (1+a)ⁿ≥1+na صحيحة
توجد ثلاث مراحل للاجابة عن هذا السؤال
أ) نتحقق من الخاصية من اجل n=0 لان n يبدأ من الصفر (∀n∈IN)
(1+a)⁰=1 لان 1+a≠0 اذن
(1+a)⁰=1=1+0.a وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n=0

ب) نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1
يعني نبين ان (1+a)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)a
ماذا يعني هذا؟ يعني نعتبر وضعية صحيحة في مرحلة ما ونبرهن اذا كانت صحيحة في المرحلة الموالية
لدينا اذن (1+a)ⁿ⁺¹=(1+a).(1+a)ⁿ
وحسب الافتراض (1+a)ⁿ≥1+na
اذا ضربنا طرفي المتفاوتة بعدد موجب طرفا طرفا , المتفاوتة لا تتغير اذن
(1+a).(1+a)ⁿ≥(1+a)(1+na)
⇔(1+a)ⁿ⁺¹≥1+na+a+na²

⇔(1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1)+na²
na²> 0 اذن
1+a(n+1)+na²> 1+(n+1)a ومنه فان
(1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1) وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
ج) نستنتج اذن ان ∀n∈IN; a∈IR+: (1+a)ⁿ≥1+na صحيحة