Exercice 1 tp

Soient (x;y∈IR⁺). Montrer que
(x+y+2=2(√(x)+√(y))) ⇒ x=y=1.

Correction

(x+y+2=2(√(x)+√(y)))⇒[x+2√(x)+1]+[y-2√(y)+1]=0
⇒ [(√x)²-2√(x)+1²]+[(√y)²-2√(y)+1²]=0
⇒ (√(x) -1)²+[(√(y)-1)²=0
⇒ √(x)-1=0 et √(y)-1=0

⇒ √(x)=1 et √(y)=1 ⇒ √(x)²=1 et √(y)²=1
⇒ x=1 et y=1
ainsi (x+y+2=2(√(x)+√(y))) ⇒ x=y=1.

Exercice 2 tp

Soit n∈ℤ tel que (n²-2n=0) ∧ (n²-4=0)
Déterminer la valeur de n.

Correction

Nous utilisons la loi de Morgan
(n²-2n=0) ∧ (n²-4=0)
⇔ (n=0 ∨ n=2) ∧ (n=-2 ∨ n=2)
⇔ (n=0 ∧ n=-2) ∨ (n=0 ∧ n=2) ∨ (n=2 ∧ n=-2) ∨ (n=2 ∧ n= 2)
donc n = 2 ainsi S={2}.

Exercice 3 tp

Soit (x ; y)∈IR^+². Montrer que
√(2x+1)+√(2y-3)=x+y ⇔ (x=0) ∧ (y=2).

Correction

Nous utilisons le raisonnement par équivalence
√(2x+1)+√(2y-3)=x+y
⇔ 2√(2x+1)+2√(2y-3)=2x+2y
⇔ 2√(2x+1)+ 2√(2y-3)=2x+1+2y-3 + 2
⇔ (2x+1)-2√(2x+1)+(2y-3)-2√(2y-3) +2=0

⇔ [√(2x+1)]²-2√(2x+1)+1
+ [√(2y-3)]²-2√(2y-3)+1 = 0
⇔ (√(2x+1)-1)² + (√(2y-3)-1)²=0
⇔ (√(2x+1)-1)=0 ∧ (√(2y-3)-1)=0
⇔ √(2x+1)=1 ∧ √(2y-3)=1
⇔ 2x+1=1 ∧ 2y-3=1
⇔ 2x=0 ∧ 2y=4 ⇔ x=0 ∧ y=2.
ainsi √(2x+1)+√(2y-3)=x+y ⇔ (x=0) ∧ (y=2).

Exercice 4 tp

Soit x ;y∈IR. Montrer que
(x≠y) ∧ (x+y≠2) ⇒ x²-2x≠y²-2y.

Correction

Nous utilisons le raisonnement par contraposé
x²-2x=y²-2y ⇒ (x=y) ∨ (x+y=2)
x²-2x=y²-2y⇒x²-2x+1=y²-2y+1
⇒(x-1)²=(y-1)²
⇒(x-1=y-1) ∨ (x-1=-(y-1))
⇒(x=y) ∨ (x+y=2)

donc x²-2x=y²-2y ⇒ (x=y) ∨ (x+y=2)
ainsi (x≠y) ∧ (x+y≠2) ⇒ (x²-2x≠y²-2y).

Exercice 5 tp

Soit a∈IR
Montrer que (∀ε>0): |a|<ε) ⇒ a=0.

Correction

Nous utilisons le raisonnement par contraposé
c'est à dire on montre
a≠0 ⇒ (∃ε>0): |a|≥ε.

Donc si a≠0 il suffit de prendre

ε=	1	|a|	car |a|≥	1	|a|
	2			2

ainsi
a≠0 ⇒ (∃ε>0): |a|≥ε)
alors
(∀ε>0): |a|<ε ⇒ a=0.