Exercice 1 tp

Soit x∈E=]-∞;0[.

On pose y =	x
	2-x

Montrer que (∀x∈E): y≥-1.

Correction

On a x<0 donc (2-x>0)
ainsi y<0.

On suppose par l'absurde que y<-1.

y<-1 ⇔	x	< -1
	2-x

⇔ x < -(2-x)

⇔ 0 < -2

et ce n'est pas possible
alors (∀x∈E): y≥-1.

Exercice 2 tp

Soient x;y;z∈IR. Montrer que le système ci-dessous n'a pas de solution

{	x-z>1
	y-x> 1
	y-z≤2

Correction

On va raisonner par l'absurde.
Supposons que ce système admet une solution, notée (a;b;c)
donc a-c>1 ⇔ a>1+c

⇔ -a< -1-c ⇔ b-a< -1-c+b
⇔ b-a< -1+(b-c) ⇔ -a< -1-c
⇔ b-a< -1-c+b ⇔ b-a< -1+(b-c)

et d'après l'équation (3) on a b-c≤2 ou encore -1+(b-c)≤2-1
ou encore b-a<1 et cela contredit l'équation (2) du système
donc ce que nous avons supposé était faux et par conséquent le système n'admet pas de solution.

Exercice 3 tp

Montrer que (∀n∈IN): (a∈IR⁺): (1+a)ⁿ≥1+na.

Correction

On montre par récurrence que la propostion
P(n): (∀n∈IN) (a∈IR⁺): (1+a)ⁿ≥1+na est vraie
il existe trois étapes pour répondre à cette question

(1) On vérifie que P(n) est vraie pour n=0 (car le rang commence à 0)
(1+a)⁰=1 car 1+a≠0 donc
(1+a)⁰=1=1+0.a et cela signifie que P(n) est vraie pour n=0
(2) On suppose que P(n) est vraie pour n et on montre qu'elle est vraie pour n+1 c'est à dire
on montre que (1+a)ⁿ⁺¹≥1+(n+1)a

C'est à dire nous considérons une position correcte à une étape et prouvons si elle est correcte à l'étape suivante
On a donc (1+a)ⁿ⁺¹=(1+a).(1+a)ⁿ
et d'après la supposition (1+a)ⁿ≥1+na
(1+a).(1+a)ⁿ≥(1+a)(1+na)
⇔(1+a)ⁿ⁺¹≥1+na+a+na²
⇔(1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1)+na².

On a na²>0 donc 1+a(n+1)+na²>1+(n+1)a
ainsi (1+a)ⁿ⁺¹≥1+a(n+1) et cela signifie que la propostion est vraie pour n+1.
(3) On déduit donc que (∀n∈IN) (a∈IR⁺): (1+a)ⁿ≥1+na.