3- Cercle

3.1 Equation cartésienne d’un cercle

3.1.1 Définition

Un cercle de centre Ω et de rayon R est un ensemble de points du plan situés à la même distance R du centre et est noté C(Ω;R) ou (C).

Exemple
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). Soit (C) un cercle de centre Ω(2;1) et de rayon R=5.
M(x;y)∈C ⇔ ΩM=5
⇔ √((x-2)² + (y-1)²) = 5
⇔ (x-2)²+(y-1)²=25.
L'équation (x-2)²+(y-1)²=25 est une équation cartésienne du cercle (C).
cette équation peut s'écrire sous la forme
x²+y²-4x-2y-20=0.

3.1.2 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
M(x;y)∈C ⇔(x-a)²+(y-b)²=R².

3.1.3 Prorpiété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). L'équation cartésienne d'un cercle de centre Ω(a;b) et de rayon R est de la forme
(x-a)²+(y-b)²=R².

Remarque
(x-a)²+(y-b)²=R² ⇔ x²+y²-2ax-2by+c=0
tel que (c=a²+b²-R²).

Exercice 1 tp

Détérminer une équation cartésienne d'un cercle (C) de centre Ω(2;-1) et de rayon 3.

Correction

M(x;y)∈C ⇔ ΩM=3
⇔ (x-2)²+(y+1)²=9
cette équation peut s'écrire comme suit
x²+y²-4x+2y-4=0.

3.1.4 Cercle défini par trois points non alignés

Propriété
Soient E ; F et G trois points non alignés.
Le centre du cercle circonscrit au triangle (EFG) est le point de rencontre des médiatrices du triangle
et son rayon est la distance ΩE=ΩF=ΩG.

Exercice 2 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère trois points
E(-1;-1);F(-3;1) et G(2;2).
1) Vérifier que E ; F et G ne sont pas alignés.
2) Vérifier que G'(-2;0) est le milieu du segment [EF].
3) Montrer que x-y+2=0 est une équation de la médiatrice passant par G'.

4) Montrer que x+y-1=0 est une équation de la médiatrice passant par le milieu du segment [EG].
5) Résoudre le système ci-dessous et déduire l'équation du cercle (C) circonscrit au triangle (EFG).

3.1.5 Cercle défini par un diamétre

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère un cercle (C) de diamétre [AB].
M(x;y)∈C ⇔ AM^→.BM^→=0
⇔ (x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0.