3.2 L'ensemble des points M(x,y) tel que x²+y²+ax+by+c=0

3.2.1 Rappel

x²+ax = (x+	a	)²-	a²	=0
	2		4
y²+by = (y+	b	)²-	b²	=0
	2		4

donc x²+y²+ax+by+c=0 ⇔

(x+	a	)²+(y+	b	)²=	a²+b²-4c
	2		2		4

3.2.2 Propriétés

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère l'ensemble
(C)={M(x,y)/x²+y²+ax+by+c=0}.
Si a²+b²-4c>0 alors (C) est un cercle de centre

Ω(	-a	;	-b	) et de rayon R=√(	a²+b²-4c	)
	2		2		4

et de rayon R = √(	a²+b²-4c	)
	4

a²+b²-4c=0 ⇒(C)=Ω.
a²+b²-4c< 0 ⇒(C)=∅.

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan ℙ
tels que x²+y²+2x+4y+3=0.
Est ce que (C) est un cercle ?

Correction

a=2		b=4		c=3

a²+b²-4c = 2²+4²-4.3=8 > 0
donc (C) est un cercle de centre

Ω(	-2	;	-4	) ou encore Ω(-1 ; -2)
	2		2

R = √(	8	) = √(2) est le tayon de (C)
	4

Exercice 2 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère l'ensemble (C) des points M(x;y) du plan ℙ
tels que x²+y²-3x+2y+5=0.
Est ce que (C) est un cercle ?

Correction

a=-3		b=2		c=4

a²+b²-4c = (-3)²+2²-4.5=-7 < 0
donc (C) n'est pas un cercle et de plus (C)=∅.

3.3 Représentation paramétrique d’un cercle

3.3.1 Cercle C(Ω;R)

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé direct (O;i^→;j^→). On considère un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
(i) Cas Ω=O(0;0). On pose θ≡(i^→;OM^→)

M(x;y)∈(C) ⇔ {	x = Rcosθ
	y = Rsinθ

(ii) cas général Ω(a;b).
M(x;y)∈(C) ⇔(x-a)²+(y-b)²=R²

⇔(	x-a	)² + (	y-b	)² =1
	R		R

⇔ (∃θ∈IR) tel que

x-a	= cosθ et	y-b	= sinθ
R		R

θ ≡ (i^→;ΩM^→)

Donc

M(x;y)∈(C)⇔{	x = a+Rcosθ	(θ∈IR)
	y = b+Rsinθ

Ce système est une représentation paramétrique du cercle (C).

3.3.2 Propriété

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère un cercle (C) de centre Ω(a;b) et de rayon R.
une représentation paramétrique du cercle (C) est définie comme suit

{	x = a+Rcosθ	(θ∈IR)
	y = b+Rsinθ

Exemple
La représentation paramétrique du cercle C de centre I(-2;5) et de Rayon R=3 est le système suivant

{	x = -2 + 3cosθ	(θ∈IR)
	y = 5 + 3sinθ