3.4 Positions relatives d’un cercle et une droite

3.4.1 Propriété

Soient (D) une droite et (C) un cercle de centre Ω et de rayon R.
Il y'a trois cas positions.

Si d(Ω;(D)) > R
alors (D) ne coupe pas (C).
Dans ce cas (D)∩(C)=∅.

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(D)

Si d(Ω;(D)) < R
alors (D) coupe (C) en deux points A et B.

Si d(Ω;(D)) = R
alors (D) coupe (C) en un seul point
dans ce cas (D) est tangente au cercle (C).

3.4.2 Equation de la tangente au cercle

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ un cercle (C) de centre Ω
et d'équation x²+y²+ax+by+c=0 et une droite (D) tangente au cercle (C) au point A.

Ω(	-a	;	-b	) et R=√(	a²+b²-4c	)
	2		2		4

M(x;y)∈(D) ⇔ AM^→.ΩM^→=0

⇔ (x-xA)(x+	a	)+(y-yA)(y+	b	)=0
	2		2

Propriété
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ un cercle (C) d'équation cartésienne
x²+y²+ax+by+c=0 et A(x_A;y_A)∈(C).
L'équation de la tangente du cercle (C) au point A est définie comme suit

(x-xA)(x+	a	)+(y-yA)(y+	b	)=0
	2		2

Exercice 1 tp

Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère dans ℙ un cercle (C) de centre Ω(-2;1) et de rayon R=3.
Déterminer la tangente au cercle (C) au point A(-2;4).