تمرين 1 tp

لتكن A(3;1) ; B(1;3) و C(1;1) نقطا من المستوى.
1) احسب cos(AB^→ ; AC^→) و sin(AB^→ ; AC^→)
2) استنتج قياسا للزاوية (AB^→ ; AC^→)

تصحيح

1) لدينا AB^→(-2;2) ; AC^→(-2;0)
AB^→.AC^→=4 ; det(AB^→;AC^→)= 4
AB=√(4+4)=2√2 ; AC=2 اذن

cosx=	u→.v→	=	4
	||u→ ||×||v→||		2√(2)×2

اذن

cosx =	√(2)
	2

ولدينا

sinx=	det(u→;v→)	=	4
	||u→ ||×||v→||		2√(2)×2

اذن

sinx =	√(2)
	2

(AB;AC)≡	π	[2π] اذن
	4

تمرين 2 tp

u^→ = 2i^→ + j^→ و v^→ = 5i^→ - 4j^→
حدد cos(u^→;v^→) ; sin(u^→;v^→)

تمرين 3 tp

لتكن u^→(2;3) متجهة موجهة لمستقيم (D)
حدد متجهة منظمية على المستقيم (D)

تصحيح

للتذكير u^→(a;b) متجهة موجهة لمستقيم (D) يكافئ ان n^→(-b;a) متجهة منظمية على المستقيم (D)
u^→(2;3) متجهة موجهة ل (D) اذن n^→(-3;2) متجهة منظمية على (D)

تمرين 4 tp

نعتبر مستقيمين (D): 3x+y-3=0
و (D'): 4x-12y+1=0
بين ان (D)⊥(D')

تصحيح

n^→(3;1) متجهة منظمية على (D)
و n'^→(4;-12) متجهة منظمية على (D')
وبما ان n^→.n'^→ = 3×4 + 1×(-12) = 12-12 = 0
فان (D) ⊥ (D')

تمرين 5 tp

ليكن (D) مستقيما معادلته x+2y+3=0 و A(1;3)
احسب مسافة A عن (D)

تمرين 6 tp

حدد معادلة ديكارتية للدائرة (C) مركزها Ω(3;-1) وشعاعها 3

تصحيح

M(x;y)∈C ⇔ ΩM =3
⇔ (x-3)²+(y+1)²=9
يمكن ان تكتب هذه المعادلة على الشكل
x²+y²-6x+2y+1=0

تمرين 7 tp

لتكن (C) مجموعة النقط M(x;y) بحيث x²+y²+2x+4y+3=0 هل (C) دائرة ?

تصحيح

1) الطريقة 1
لدينا x²+2x=x²+2x+1-1=(x+1)²-1
y²+4y=y²+2.2y+2²-2²=(y+2)²-4
x²+y²+2x+4y+3=0 ⇔ (x+1)²+(y+2)²-1-4+3=0⇔ (x+1)²+(y+2)²=2=(√2)²
وهذا يعني ان المجموعة (C) دائرة مركزها Ω(-1;-2) وشعاعها R=√(2)
2) الطريقة 2
لدينا x²+y²+2x+4y+3=0
اذن a=2 ; b=4 ; c=3

a²+b²-4c=4+16-12=8>0
وهذا يعني ان المجموعة (C) دائرة مركزها

Ω(	-a	;	-b	) =	Ω(	-2	;	-4	)
	2		2			2		2

اي Ω(-1;-2)

وشعاعها

R=√(	a²+b²-4c	) = √(	8	)
	4		4

اي R=√(2)

تمرين 8 tp

لتكن (C) مجموعة النقط M(x;y) بحيث x²+y²-3x+2y+4=0 هل (C) دائرة ?

تمرين 9 tp

حدد مماس الدائرة التي مركزها Ω(-2;1) وشعاعها R=3 في النقطة A(-2;4)

تصحيح

نرمز للمماس ب (T)
M(x;y)∈(T)⇔ AM.AΩ=0
⇔ (-2+2).(x+2)+(1-4).(y-4)=0
⇔ 0-3y+12=0
⇔ y=4
اذن T: y=4

تمرين 10 tp

E(-1;-1);F(-3;1) و G(2;2) ثلاث نقط
1) تحقق ان E ; F و G غير مستقيمية
2) تحقق ان G'(-2;0) منتصف القطعة [EF]
3) بين ان x-y+2=0 هي معادلة الواسط المار من G'
4) بين ان x+y-1=0 هي معادلة الواسط المار من منتصف القطعة [EG]
5) حل النظمة اسفله واستنتج معادلة الدائرة (C)

{
	x - y + 2 = 0
	x + y - 1 = 0