5.4 Utilisation de suite arithmétique ou géométrique

Exercice 1 tp

Soient (u_n)_n∈IN une suite définie par

et (v_n)_n∈IN une suite définie par v_n=u_n+1.
1) Calculer v₀.
2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique.

3) Déterminer v_n et u_nen fonction de n.

Correction

1) On a v₀=u₀+1=3+1
donc v₀ = 4.
2) On a v_n=u_n+1 donc v_n+1=u_n+1+1
ou encore v_n+1=(2u_n+1)+1=2(u_n+1)
et puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n
ainsi (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et de premier terme v₀=4.

3) On détermine v_n en fonction de n
(v_n) est une suite géométrique
donc v_n=v₀qⁿ=4.2ⁿ.
On a v_n=u_n+1 donc u_n=v_n-1 ainsi u_n=4.2ⁿ-1.

Exercice 2 tp

Soient (u_n)n≥1 une suite définie par

et (v_n) une suite définie par v_n=u_n-1.
1) Calculer v₁.

2) Montrer que (v_n) est une suite géométrique de raison q qui doit être déterminée.
3) Déterminer v_n et u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v_n=u_n-1
donc v₁=u₁-1=3-1=2.
2) On a v_n+1=u_n+1-1=-3u_n+4-1
= -3u_n+3=-3(u_n-1)
donc v_n+1=-3v_n ainsi (v_n)n≥1 est une suite géométrique de raison -3.

3) (a) On calcule v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique alors v_n=v₁q^n-1 donc v_n=2.(-3)^n-1.
(b) On calcule v_n en fonction de n
v_n=u_n-1 signifie u_n=v_n+1
ainsi u_n=2.(-3)^n-1 + 1.

Exercice 3 tp

Soient (u_n) une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme u₀=1
et (v_n) une suite définie par

1) Calculer v₀.

2) Montrer que (v_n) est une suite arithmétique.
3) Déterminer v_n et u_n en fonction de n.

Correction

1) On calcule v₀

2) On a

Donc v_n+1=v_n+2 ainsi (v_n) est une suite arithmétique de raison 2.

3) On calcule v_n en fonction de n
(v_n) est une suite arithmétique de raison 2 donc v_n=v₀+2n ou encore

(u_n) est une suite arithmétique de raison 8
donc u_n=u₀+8n ainsi u_n=1+8n.