4- Suites arithmétiques

4.1 Activités et définition

4.1.1 Activités

Exemple 1
Compléter le tableau suivant

Les nombres 1; 5; 9; 13;.. sont des termes d'une suite récurrente, ou chaque terme est égal au terme précédent plus 4.

On dit que ce sont des termes d'une suite arithmétique de raison 4.

Exemple 2
Compléter le tableau suivant

Les nombres 35; 30; 25; 20; 15; ..
sont des termes d'une suite récurrente où chaque terme est égal au terme précédent plus (-5).

On dit que ce sont des termes d'une suite arithmétique de raison -5.

4.1.2 Définition

Soient I⊂IN et (u_n)_n∈I une suite numérique.
On dit que (u_n)_n∈I est une suite arithmétique de raison r si elle s'écrit sous la forme
u_n+1=u_n+r et son premier terme est un nombre réel a.

Exercice 1 tp

Calculer la raison d'une suite arithmétique de premier terme 3 et de deuxième terme 10.

Correction

On désigne par (u_n)_n≥1 à cette suite
donc le premier terme u₁=3 et le deuxième terme u₂=10.
(u_n)_n≥1 est une suite arithmétique
donc u_n=u₁+(n-1)r et donc u₂=u₁+r
ou encore 10=3+r donc r=10-3=7 ainsi r=7.

Exercice 2 tp

Calculer le deuxième terme; le troisième et le cinquième terme d'une suite arithmétique de raison 3 et de premier terme 2.

Correction

On désigne par (u_n)_n≥0 à cette suite.
1) Deuxième terme
la suite est définie pour n≥0 donc le premier terme u₀=2.

(u_n)_n≥0 est une suite arithmétique
donc u_n+1=u_n+r
et donc le deuxième terme u₁=u₀+r
ou encore u₁=2+3=5 ainsi u₁=5.
2) Troisième terme u₂
u₂=u₁+r ou encore u₂=5+3=8
ainsi u₂=8.

3) Cinquième terme u₄
u₄=u₃+r
on calcule donc u₃
u₃=u₂+r ou encore u₃=8+2=10
donc u₄=10+2
ainsi u₄=12.