Généralités sur les suites (7)
4.2 Terme général d'une suite arithmétique
4.2.1 Introduction
Soit (un)n≥0 une suite arithmétique de raison r
et de premier terme u0
donc un+1=un+r ainsi
| u1 = u0+r | ... | |||
| u2 = u1+r | un-1 = un-2+r | |||
| u3 = u2+r | un = un-1+r | |||
On fait la somme de ses égalités membre à membre
le résultat est donc un=u0+nr.
4.2.2 Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.
Le terme général de la suite (un) s'écrit sous la forme
un=u0+nr.
Remarque
Si u1 est le premier terme de la suite (un)n≥1
alors un=u1+(n-1)r.
Exercice 1 tp
Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0=7 et de raison 4.
Calculer u2021.
Correction
(un) est une suite arithmétique
donc un=u0+nr
et donc u2021=7+2021.4
ainsi u2021=4091.
4.2.3 Propriété
Soit (un)n≥p une suite arithmétique de raison r.
un = up+(n-p)r.
Exercice 2 tp
Soit (un) une suite arithmétique.
Sachant que u25=1000 et u30=1250
calculer la raison de la suite (un).
Correction
On sait que un=up+(n-p)r
donc u30 = u25+(30-25)r = u25+5r
et donc 1250=1000+5r
ou encore 5r=1250-1000
ou encore 5r=250 ainsi r=50.
4.3 Somme de n premiers termes d'une suite arithmétique
4.3.1 Introduction
Soit (un)n≥1 une suite arithmétique.
On pose S= u1+u2+...+un
et on peut écrire S autrement
S = un+un-1+...+u1.
(Vérifier que u1+un= u2+un-1= .. =un+u1).
n est le nombre de termes de la somme S
donc 2S = n(u1+un)
et donc
| S = | n | (u1+un) |
| 2 |
en d'autre terme
| S = | Nombre de termes | (Premier terme + Dérnier terme) |
| 2 |
4.3.2 Propriété
Soit (un)n≥p une suite arithmétique
et S= up+up+1+..+un.
n-p+1 est le nombre de termes de la somme S.
| S = | n-p+1 | (up+un) |
| 2 |