Exercice 1 tp

Etudier la monotonie de la suite (u_n)
u_n= 3- n + 2ⁿ.

Exercice 2 tp

Montrer que la suite (u_n)_n≥1 définie par
u_n=√(n+1) - √(n) est majorée.

Exercice 3 tp

Soient (u_n) une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme u₀=1.
et (v_n) une suite définie par

vn =	1	un + 2
	4

1) Calculer v₀.
2) Montrer que (v_n) est une suite arithmétique.
3) Déterminer v_n puis u_n en fonction de n.

Correction

1) On calcule v₀

v0 =	1	u0 + 2 =	1	1 +2
	4		4
⇒	v0 =	9
		4

2) On calcule v_n+1

vn+1 =	1	un+1 + 2
	4

=	1	(un+8) + 2
	4
=	1	un+2 +2
	4
=[	1	un+2]+2
	4

donc v_n+1=v_n+2 et cela signifie que (v_n) est une suite arithmétique de raison 2.

3) On calcule v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite arithmétique de raison 2 alors v_n=v₀+2n ou encore

vn =	9	+2n
	4

4) On détermine u_n en fonction de n
puisque (u_n) est une suite arithmétique de raison 8 alors
u_n=u₀+8n ainsi u_n=1+8n.

Exercice 4 tp

Soit (u_n)_n∈IN une suite numérique définie par
u_n+1=2u_n+1 et u₀=3
et soit (v_n) une suite définie par
v_n=u_n+1.
1) Calculer v₀.
2) Montrer (v_n) est une suite géométrique.
3) Déterminer v_n en fonction de n.
4) Déduire u_n en fonction de n.

Correction

1) On a v_n=u_n+1
donc v₀=u₀+1=3+1=4.
2) On montre que (v_n) est une suite géométrique
pour cela on calcule v_n+1
on a v_n=u_n+1
donc v_n+1=u_n+1+1
ou encore v_n+1=(2u_n+1)+1
=2(u_n+1).

Et puisque u_n+1=v_n alors v_n+1=2v_n
et cela signifie que (v_n) est une suite géométrique de raison q=2 et v₀=4.
3) On détermine v_n en fonction de n
puisque (v_n) est une suite géométrique alors
v_n=v₀qⁿ
ainsi v_n=4x2ⁿ.
4) Puisque v_n=u_n+1 alors u_n=v_n-1
ainsi u_n=4x2ⁿ -1.