Exercice 1 tp

Soit (u_n) une suite arithmétique définie par u₂₅=1000 et u₃₀=1250.
Calculer la raison de la suite (u_n).

Correction

On a u_n=u_p+(n-p)r donc
u₃₀= u₂₅+(30-25)r = u₂₅+5r
1250=1000+5r ⇔ 5r=1250-1000=250
ainsi r=50.

Exercice 2 tp

Soit (u_n) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u₀=7.
Calculer u₅.

Correction

(u_n) est une suite géométrique donc u_n=u₀qⁿ
ou encore u₅=7.2⁵
ainsi u₅=224.

Exercice 3 tp

Soit (u_n) une suite géométrique de raison 2 et de premier terme u₀=7.
Calculer u₅.

Correction

(u_n) est une suite géométrique donc
u_n=u₀qⁿ
u₅=7.2⁵
ainsi u₅=224.

Exercice 4 tp

Soit (u_n)_n∈IN une suite numérique définie par
u_n+1=√(u_n+2) et u₀=7.
Montrer que ∀n ∈IN: 0≤u_n≤7.

Correction

On montre par récurrence la propriété suivante
(∀n ∈IN): 0≤u_n≤7.
1) Pour n=0 on a u₀=7 donc 0≤u₀≤7 alors la propriété est vraie pour n=0.

2) On suppose qu'elle est vraie pour n
on a donc 0≤u_n≤7 ou encore 2≤u_n+2≤7+2
ou encore √(2)≤√(u_n+2)≤3
puisque √(2)>0 et 3<7 alors 0≤u_n+1≤7 et cela signifie que la propriété est vraie pour n+1.
3) On déduit donc
(∀n ∈IN): 0≤u_n≤7 ainsi la suite est bornée.

Exercice 5 tp

Soit (u_n)_n≥0 une suite définie par

Montrer par récurrence que
(∀ n∈N): 1≤u_n≤1,5.

Correction

On montre par récurrence que la propriété P(n)
(∀n ∈IN): 1≤u_n≤1 est vraie.

Pour n=0 on a u₀=1 et 1≤1≤1,5 donc P(n) est vraie pour n=0.
On suppose que P(n) est vraie pour n
on a donc 1≤u_n≤1,5 ou encore 4≤u_n+3≤4,5 ou encore 2≤(u_n+3)÷2≤2,25
ainsi √(2)≤√[(u_n+3)÷2]≤1,5.

Puisque √(2)>1 alors 1≤√(2)≤u_n+1≤1,5
la propriété est donc vraie pour n+1.
on déduit donc
(∀n∈IN): 1≤u_n≤1,5 alors (u_n) est bornée.