1- Formules de transformations
1.1 Activité et propriétés
1.1.1 Activité
Le plan ℙ est rapporté à un repère orthonormé direct
(O;i→;j→). On considère deux points
A et B du cercle trigonométrique (C) tels que
(i→;OA→)≡a[2π] avec (a∈IR).
(i→;OB→)≡b[2π] avec( b∈IR).
Donc (OA→;OB→)≡(b-a)[2π].
1) Montrer que OA→.OB→ = cos(b-a)
et det(OA→;OB→) = sin(b-a).
2) Déduire les deux relations suivantes
cos(b-a) = cosa×cosb + sina×sinb.
sin(b-a) = sinb×cosa - cosb×sina.
1.1.2 Propriétés
Soient a et b deux nombres réels.
| { |
cos(a-b) = |
cosa×cosb + sina×sinb |
| sin(a-b) = | sina×cosb - cosa×sinb |
1.2 Résultats
1.2.1 Résultats 1
En utilisant l'égalité a+b=a-(-b) on obtient
cos(a+b)=cosa×cosb-sina×sinb.
sin(a+b)=sina×cosb+cosa×sinb.
| { | tan(a-b) = | tana-tanb |
| 1+tana×tanb |
| tan(a+b) = | tana+tanb |
| 1-tana×tanb |
En posant a=b on obtient
Exercice 1 tp
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Correction
| cos | 7π |
= cos( | 3π |
+ | 4π | ) |
| 12 | 12 | 12 |
| = cos | π | cos | π |
- sin | π | sin | π |
| 4 | 3 |
4 | 3 |
donc
| tan | 7π |
= tan( | 3π |
+ | 4π | ) |
| 12 | 12 | 12 |
| = | tan | π | + tan | π |
| 4 |
3 |
|
|
| 1-tan | π | ×tan | π |
| 4 |
3 |
ou encore
| tan | 7π |
= | 1+√(3) |
= | (1+√(3))² |
| 12 | 1-√(3) | -2 |
Donc
1.2.2 Résultats 2
On pose a = b dans les propriétés précédentes on obtient
| { | sin2a = | 2sina×cosa |
| cos2a = | cos²a - sin²a |
sin²a+sin²a=1 donc cos2a=2cos²a - 1
et cos2a=1-2sin²a.
Et donc
| { | cos²(a) = | 1+cos2a |
| 2 |
| sin²(a) = | 1-cos2a |
| 2 |
Exercice 2 tp
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