3- L’équation az²+ bz+ c = 0 dans ℂ avec a;b;c∈IR et a≠0

3.1 Equation z²=x avec x∈IR

3.1.1 Rappel

Soient z∈ℂ* avec z²=x et x∈IR.
Si x≥0 alors z=√(x) ou z=- √(x)
Si x<0 alors x=-|x| ou encore (∃t∈IR):
x=(it)² (t=√(|x|)) ainsi z=it ou z=-it.

3.1.2 Propriété

Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrés opposés.

3.2 Equation az²+bz+c=0 dans ℂ

3.2.1 Forme canonique d’un trinôme

On considère dans ℂ le trinôme T(z)=az²+bz+c avec a;b;c∈IR.

On pose Δ = b²-4ac.
Δ est appelé discrimiant du trinome T(z) (!important).

2.4.2 Factorisation du trinôme T(z) et résolutions de l'équation
az²+bz+c=0

1) Si Δ= 0 alors

ainsi l'équation az²+bz+c=0 admet une solution réel double

2) Si Δ>0 alors

ainsi l'équation az²+bz+c = 0 admet deux solutions réelles différentes

3) Si Δ<0
(i√|Δ|)² = Δ alors

ainsi l'équation az²+bz+c = 0 admet deux solutions imaginaires conjuguées

résultat
Si Δ≠0 alors
T(z) = a(z - z₁)(z - z₂) avec z₁ et z₂ sont les racines du trinôme T(z).

2.4.3 Propriétés

Soient a;b;c∈ℝ avec a≠0
(E): az²+bz+c=0 l'équation du second degré et Δ=b²-4ac le disciminant de (E).
1) Si Δ=0 l'équation (E) admet une solution double

S={	- b	}
	2a

2) Si Δ>0 alors l'équation (E) admet deux solutions différentes

3) Si Δ<0 alors l'équation (E) admet deux solutions imaginaires conjuguées

Exercices 1 tp

Résoudre dans ℂ les équations suivantes
z² - 2√(2)z +2 = 0.
2z² + 2z + 1 = 0.
5z² + z - 4 = 0.
z² - 2z + 2 = 0.