Nombres complexes (12)
Rappel
Soient a;b;c∈ℝtel que a≠0.
On considère l'équation (E): az²+bz+c=0
et Δ=b²-4ac le disciminant de (E).
1) Si Δ=0 l'équation (E) admet une solution double
| S = { | - b | } |
| 2a |
2) si Δ>0 alors l'équation (E) admet deux solutions différentes
| S = { | - b - √(Δ) | ; | - b + √(Δ) | } |
| 2a | 2a |
de plus T(z) = a(z - z1)(z - z2) tels que z1 et z2 sont les racines du trinôme T(z)=az²+bz+c.
3) Si Δ< 0 alors l'équation (E) admet deux solutions imaginaires conjuguées
| S = { | - b - i√(|Δ|) | ; | - b + i√(|Δ|) | } |
| 2a | 2a |
Exercices 1 tp
Résoudre dans ℂ l'équations suivante
(E): z² - 2z + 2 = 0.
Correction
Δ = b²-4ac = 2²-4.2 = -4 < 0 donc l'équation (E) admet deux solutions différentes dans ℂ.
| z1 = | - b - i√(|Δ|) | z2 = | - b + i√(|Δ|) | |
| 2a | 2a | |||
| = | 2 - i√(4) | = | 2 + i√(4) | |
| 2 | 2 |
Donc z1 = 1 - i et z2 = 1 + i
ansi S = { 1 - i ; 1 + i}
Notons que z1 et z2 sont conjugués.
Exercices 2 tp
Résoudre dans ℂ l'équation suivante
2z² + 2z + 1 = 0.
Correction
Δ = b²-4ac = 2²-4.2 = -4 < 0 donc l'équation (E) admet deux solutions différentes dans ℂ.
| z1 = | - b - i√(|Δ|) | z2 = | - b + i√(|Δ|) | |
| 2a | 2a |
| z1 = | -2 - i√(4) | z2 = | -2 + i√(4) | |
| 4 | 4 | |||
| = | -1 - i | = | -1 + i | |
| 2 | 2 |
| z1 = | -1 | - | 1 | i | z2 | -1 | + | 1 | i | |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
Ainsi
| S = { | -1 | - | 1 | i ; | -1 | + | 1 | i } |
| 2 | 2 | 2 | 2 |
Exercices 2 tp
Résoudre dans ℂ l'équation suivante
7z² - 9z + 3 = 0.
Correction
Δ = b²-4ac = 9²-4.7.3 = -3 < 0 donc l'équation (E) admet deux solutions différentes dans ℂ
| z1 = | - b - i√(|Δ|) | z2 = | - b + i√(|Δ|) | |
| 2a | 2a | |||
| = | 9 - i√(3) | = | 9 + i√(3) | |
| 14 | 14 |
| z1 = | 9 | - | √(3) | i | z2 | 9 | + | √(3) | i | |
| 14 | 14 | 14 | 14 |
Ainsi
| S = { | 9 | - | √(3) | i ; | 9 | + | √(3) | i } |
| 14 | 14 | 14 | 14 |