3.3 لحق منتصف قطعة [AB]

I منتصف القطعة [AB] ⇔ 2OI^→=OA^→+OB^→
اذن 2.aff(I)= z+z'

3.3.1 خاصية

لتكن A(z) و B(z') نقطتين من المستوى العقدي لحق المنتصف I للقطعة [AB] هو :

aff(I)=	z+z'
	2

3.3.2 مثال

لتكن A(7+3i) و B(-1+5i) نقطتين من المستوى العقدي
حدد لحق منتصف القطعة [AB]

تصحيح

لدينا : aff(AB^→)=-8+2i
اذن aff(I)= -4+i

4- معيار عدد عقدي

4.1 تعريف

ليكن z∈ℂ و M(a;b) صورته في معلم
لدينا z=a+bi اذن OM=√(a²+b²) و z.z=a²+b²

4.1.1 تعريف

معيار عدد عقدي z هو عدد حقيقي موجب ونرمز له ب |z| ويساوي المسافة OM حيث M(z).
اي |z|=√(zz)=√(a²+b²)

4.1.2 مثال :

|√2+i|=√(2+1)=√3 ; |4-3i|= 5

المسافة AB

AB=|Zb - Za|, A(Za) ; B(Zb)
امثلة:
A(1+2i) ; B(-3+5i) ; C(0,5+0,2i)
المسافة AB=|Zb-Za|=|-3+5i-(1+2i)|=|-4+3i|=√(16+9)=5
المسافة AC=|Zc-Za|=|0,5+0,2i-(1+2i) =|-0,5-1,8i|=√(0,25+3,24)=√(3,49)
المسافة BC=|Zc-Zb|=|0,5+0,2i-(-3+5i)| =|3,5+4,8i|=√(12,25+23,04)=√(35,29)

4.2 خاصيات

ليكن z;z'∈ℂ حيث z'≠0 و k∈IR و n∈Z
|-z|=|z|=|z| ; |z.z'| = |z|.|z'|

|	1	|=	1	; |	z	|=	|z|
	z'		|z'|		z'		|z'|

|zⁿ| = |z|ⁿ
|z + z'|≤|z|+|z'| ;(المتفاوتة المثلثية) بصفة عامة :

|	k=n ∏ k=1	zk|	=	k=n ∏ k=1	|zk|
|	k=n ∑ k=1	zk	|	≤	k=n ∑ k=1	|zk|

ملاحظة :

اذا كان z∈IR فان معيار العدد z هو القيمة المطلقة للعدد z

امثلة

|13|=13; |-27|=27;..

5- عمدة عدد عقدي غير منعدم

نعتبر المعلم المتعامد الممنظم المباشر (O;u^→;v^→) في المستوى العقدي

5.1 تعريف

لتكن M(z), z∈ℂ, عمدة z ونرمز لها ب arg z, قياسا بالراديان للزاوية الموجهة (u^→; OM^→)
اذا كانت v^→ متجهة صورة للعدد العقدي z فان arg z=mes(u^→;v^→)+2kπ حيث k∈ℤ

5.2 خاصيات

5.2.1 ميزة عدد حقيقي

z∈IR ⇔ z=0 او arg z= 0+kπ; k∈ℤ

5.2.2 ميزة عدد تخيلي صرفا

z∈iIR ⇔ z=0 او arg z=(π/2)+kπ; k∈ℤ

5.2.3 ملاحظة :

0 ليس له عمدة ويعتبر عددا تخيلي صرفا

5.2.4 خاصيات

z∈ℂ*, arg(z)=- argz+2kπ; k∈ℤ
z∈ℂ*, arg(-z) =π+ argz + 2kπ; k∈ℤ

5.2.5 خاصيات

لتكن z;z'∈ℂ*
z=z' ⇔ | z |=| z' | و argz≡argz'[2π]
arg-z=π+argz +2kπ و argz=-argz+2kπ
argz.z'=argz+argz'+2kπ
argz.z...z = nargz + 2kπ ; k∈IN

التمثيل المبياني هنا ..

arg	1	=-argz'+2kπ
	z'
arg	z	=argz-argz'+2kπ
	z'

تمرين

ليكن z و z' عددين عقديين اذا كان
argz=π/2 +2kπ و argz'=π/3 +2kπ حيث k∈ℤ حدد arg(-z); arg(z); arg(z.z') و arg(z.z'^-1)

6- شكل مثلثي لعدد عقدي

6.1 خاصية وتعريف

6.1.1 خاصية

∀z∈ℂ*, ∃x∈ℝ : z=|z|(cosx + isinx)

6.1.2 تعريف

شكل مثلثي لعدد عقدي z هو الكتابة :
z=|z|(cosx+isinx) حيث x عمدة للعدد z.

6.2 امثلة

6.2.1 مثال 1

حدد شكلا مثلثيا للعدد العقدي z=1+i

تصحيح هنا ..

6.2.2 مثال 2 هنا ..

6.2.3 خاصيات

ليكن z=[r;x] و z'=[r';x'] و n∈IN
-z = [r ; π + x] و z= [r ; -x]
z.z' =[rr'; x+x'] و zⁿ=[rⁿ;nx]

1	=[	1	;-x'] ;	z	=[	r	;x-x']
z'		r'		z'		r'

7 زاوية متجهتين واستقامية النقط

7.1 احداتيات قطبية

تقديم وتعريف هنا ..
التمثيل هنا ..

7.2 زاوية متجهتين

7.2.1 تقديم

لتكن p^→ و q^→ متجهتين
(p^→;q^→) = (p^→;u^→) + (u^→;q^→)
= (u^→;q^→) - (u^→;p^→) + 2kπ
لدينا aff(p^→+q^→) = aff(p^→)+aff(q^→)
و aff(kp^→)=kaff(p^→)
affAB^→ = aff(B) - aff(A)
AB=|affB - affA|

7.2.2 خاصية

لتكن A(z); B(z'); C(z") و D(z"') نقط من المستوى العقدي
(u^→;AB^→)=argz'-argz+2kπ حيث k∈ℤ

(AB→;CD→) =arg	c-d	+2kπ; k∈ℤ
	b-a

تمرين

نعتبر A; B; C بحيث Za=1

Zb=	1	- i	√3
	2		2
Zc=	1	+ i	√3
	2		2

1) احسب المسافات AB; AC; BC
2) حدد قياسا للزاوية (AB;AC)

تصحيح

1) AB=|Zb-Za|=|(0,5-1)-i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)=1
AC=|Zc-Za|=(0,5-1)+i(0,5)√3|
=√((-0,5)²+(0,5√3)²)=1

BC=|Zc-Zb|=|(0,5-0,5)+i(√3)|=3
2)

(AB→;AC→) =arg	c-a	[2π]
	b-a
=arg	-0,5+i(0,5)√3	[2π]
	-0,5-i(0,5)√3

= arg(-0,5+i(0,5)√3)
- arg(-0,5-i(0,5)√3)

=	2π	-	(-2π)
	3		3
=	4π	+2kπ ;k∈ℤ
	3
=	-2π	+2kπ ;k∈ℤ
	3