7.3 استقامية ثلاث نقط

7.3.1 تقديم

A(z) ; B(z') و C(z") مستقيمية
⇔(∃t∈IR): AC^→=tAB^→

⇔	c-a	=t∈IR
	b-a

7.3.2 خاصية

A(a) ; B(b) و C(c) نقط مستقيمية:

⇔	c-a	∈IR
	b-a
⇔arg	c-a	=0 ou π+2kπ
	b-a

7.3.3 نتيجة

(AB)⊥(CD):

⇔arg	c-d	=π/2 او -π/2 +2kπ
	b-a

8- التعبيرات العقدية للتحويلات الاعتيادية

8.1 الازاحة

لتكن t ازاحة متجهتها u^→(a) و M(z) نقطة من المستوى العقدي
t(M)=M' ⇔ MM'=u
اذن z'-z=a اي z'=z+a

8.1.1 خاصية

لتكن t ازاحة متجهتها u^→(a) الشكل العقدي للازاحة t هو z'=z+a حيث t(M(z))=M'(z').

8.1.2 مثال :

حدد الشكل العقدي للازاحة t التي متجهتها u^→(1+2i)

تصحيح

لتكن M(z) نقطة لحقها z و M'(z') صورتها بالازاحة t
الشكل العقدي للازاحة t هو : z'=z+1+2i

تمرين :

لتكن t
1)حدد الشكل العقدي للازاحة t التي متجهتها u^→(1-i)
2) حدد B صورة النقطة A(3+2i) ب t

8.2 التماثل

ليكن S تماثل مركزي مركزه W(a)
S(M)=M' ⇔ WM^→= -WM^→
⇔z'= a+-(z-a) = -z +2a

8.2.1 خاصية

ليكن S تماثل مركزي مركزه W(a), الشكل العقدي للتماثل المركزي S هو z'=-z+2a حيث S(M(z))=M'(z').

8.2.2 مثال :

ليكن S تماثل مركزي مركزه W(5i)
حدد الشكل العقدي للتماثل المركزي S

تضحيح

الشكل العقدي للتماثل المركزي S هو : z'=-z+2.5i=-z+10i

8.3 التحاكي

ليكن h تحاك مركزه W(a) ونسبته k
h(M)=M' ⇔ WM^→= kWM^→
⇔z'= a+k(z-a) = kz +(1-k)a

8.3.1 خاصية

ليكن h تحاك مركزه W(a) ونسبته k, الشكل العقدي للتحاكي h هو z'=a+k(z-a) حيث h(M(z))=M'(z').

8.3.2 مثال :

حدد الشكل العقدي للتحاكي h(W(1+i);3)

تصحيح

لتكن M(z) نقطة لحقها z و M'(z') صورتها بالتحاكي h, الصيغة العقدية التحاكي h هو :
z'=1+i+3(z-1-i)=3z-2-2i

9- صيغة موافر وصيغة اولر

9.1 صيغة موافر

9.1.1 خاصية

لكل عدد حقيقي x وكل عدد طبيعي n
(cosx + isinx)ⁿ=cosnx+isinnx

برهان

نتبع البرهان بالترجع من اجل n=2 لدينا (cosx+isinx)²=cos²x-sin²x+2icosxsinx
=-1+2cos²x+isin2x=-1+1+cos2x+isinx
اذن (cosx+isinx)²=cos2x+isin2x ومنه فان الخاصية صحيحة من اجل n=2
نفترض ان الخاصية صحيحة من اجل n ونبين انها صحيحة من اجل n+1
(cosx+isinx)ⁿ⁺¹=(cosx+isinx)ⁿ(cosx+isinx)
=(cosnx+isinnx)(cosx+isinx)
=cosnx.cosx-sinnx.sinx+i(cosnxsinx+sinnx.cosx)
=cos(nx+x)+isin(nx+x)
=cos(n+1)x+isin(n+1)x وهذا يعني ان الخاصية صحيحة من اجل n+1
نستنتج اذن ان ∀n∈IN, (cosx+isinx)ⁿ=cosnx+isinnx

9.1.2 مثال

(cos(π/5)+isin(π/5))³
= cos3π/5 + isin3π/5
(cos(2π/7)+isin(2π/7))¹⁴
= cos28π/7 + isin28π/7
= cos3π + isin3π=-1

9.1.3 نتيجة

∀z=[r;x], zⁿ=[rⁿ;nx]

9.1.4 مثال

2(cos(π/5)+isin(π/5)))³
=4(cos3π/5 + isin3π/5)
(5(cos(π/8)+isin(π/8)))⁴
=5⁴(cosπ/2 + isinπ/2)
=5⁴(0+i)=5⁴i

9.2 صيغة اولر

9.2.1 خاصية

ليكن z=cosx+isinx∈ℂ ; z+z =2cosx
و z-z =i2sinx

cosx=	(z+z)	و sinx=	(z-z)
	2		2i

9.2.2 خاصية

∀x∈IR و ∀n∈IN

cosnx=	(zn+zn)	و sinnx=	(zn-zn)
	2		2i

تمرين 1

1) اخطط sin²x
وحدد الدوال الاصلية ل sin²x
2) اخطط cos²x
وحدد الدوال الاصلية ل cos²x

تمرين 2

1) اخطط sin³x
وحدد الدوال الاصلية ل sin³x
2) اخطط cos³x
وحدد الدوال الاصلية ل cos³x

تمرين 3

حدد مجموعة النقط M(Z) من المستوى بحيث

|	Z-1+i	|=1
	Z+2i

تصحيح

|	Z-1+i	|=1⇔|Z-1+i|=|Z+2i|
	Z+2i

⇔|Z-(1-i)|=|Z-(-2i)|
⇔AM=BM ; A(1-i) ; B(-2i)
وهذا يعني ان M تنتمي الى واسط القطعة [AB]
اذن مجموعة النقط M(Z) هي واسط القطعة [AB]

تمرين 4

نعتبر النقط A(1-i); B(2i); C(2+2i) حدد مجموعة النقط M(Z) من المستوى بحيث
||2MA^→+MB^→-MC^→||=2√2

تصحيح

لدينا 2+1-1=2≠0 اذن النقط المتزنة (A;2) ; (B;1) ; (C;-1) تقبل مرجحا نرمز له ب G
||2MA^→+MB^→-MC^→||=2√2
⇔||(2+1-1)MG^→||=2√2
⇔2MG=2√2⇔MG=√2
وهذا يعني ان M تنتمي الى الدائرة التي مركزها G وشعاعها√2
2OG^→=2OA^→+OB^→-OC^→
G(Za+(0,5)Zb-(0,5)Zc)
وبالتالي مجموعة النقط M(Z) هي دائرة مركزها G(-i) وشعاعها √2