11- الترميز الاسي لعدد عقدي غير منعدم

11.1 تعريف وخاصيات

11.1.1 تعريف

كل عدد عقدي z معياره 1 وعمدته x يكتب على الشكل z=e^ix=cosx+isinx =[1;x]

11.1.2 مثال :

z=e^iπ/3= cosπ/3 + isinπ/3

11.1.3 الحالة العامة

∀z∈ℂ*∃x∈IR z=|z|e^ix

11.1.4 نتيجة

∀z=[r;x], zⁿ=[rⁿ;nx]=rⁿ.e^inx

11.2 خاصيات

ليكن z=re^ix و z'=r'e^ix'
z.z'= rr'e^i(x+x')

1	=	1	e-ix'
z'		r'
z	=	r	ei(x-x')
z'		r'

تمرين 1

اكتب z=(1+i).(1+√3i) على الشكل الاسي

تصحيح:

لدينا 1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4) = √2e^iπ/4
و 1+√3i =2(cosπ/3 +isinπ/3) =2e^iπ/3
اذن z= 1.2 e^{i(π/4 + π/3)}
ومنه فان z=2e^i7π/12

تمرين 2

اكتب z=(2-2i).(1+i√3)^-1 على الشكل الاسي

تصحيح:

لدينا 2+2i==2√2(cos-π/4 + isin-π/4)=2√2 e^-iπ/4
و 1+i√3 =2(cosπ/3 + isinπ/3) = 2e^iπ/3
اذن z=2√2 .2 e^{i(-π/4 - π/3)}
ومنه فان z= 4√2 e^-i7π/12

11.3 صيغة اولر

11.3.1 خاصية

ليكن z=cosx+isinx∈ℂ ; z+z =2cosx
و z-z =i2sinx

cosx=	(z+z)	=	(eix+e-ix)
	2		2

sinx=	(z-z)	=	(eix-e-ix)
	2i		2i

11.3.2 خاصية

∀x∈IR و ∀n∈IN

cosnx=	(zn+zn)	=	(einx+e-inx)
	2		2
sinnx=	(zn-zn)	=	(einx-e-inx)
	2i		2i

11.4 الدوران

11.4.1 تذكير :

R دوران مركزه W وزاويته x يكافئ كل نقطة M من المستوى ; WM=WM' و (WM;WM')=x+2kπ حيث k∈ℤ
لدينا WM=| z-a | و WM'=| z'-a | اذن :

	|	z'-a	|=1
		z-a
	arg	z'-a	=x +2kπ; k∈Z
		z-a

وبما ان كل عدد عقدي له كتابة وحيدة فان :

z'-a	=[1;x] = eix
z-a

11.4.2 خاصية:

لتكن M(z) نقطة من المستوى العقدي و M'(z') صورتها بالدوران الذي مركزه W(a); a∈ℂ وزاويته x
الكتابة العقدية للدوران R هي :
z'=a+(z-a)e^ix

11.4.3 مثال :

ليكن R دورانا مركزه W(2i) وزاويته π/3
حدد الشكل المثلثي للدوران R

تصحيح

الصيغة العقدية لدوران R هي z'=2i+(z-2i)e^iπ/3
=2i+(z-2i)(0,5 + i√3/2)
= (0,5)(1+i√3)z +2i-i+√3
= (0,5)(1+i√3)z +i+√3
وبالتالي R: z'=(0,5)(1+i√3)z +i+√3

تمرين

ليكن R دورانا مركزه W(i) وزاويته π/2
1) حدد الشكل العقدي للدوران R
2) حدد النقطة B صورة النقطة A(1-i) بالدوران R.

تمرين

نعتبر النقط A(1+3i) ; B(i) ; C(-1-i)
بين ان النقط A ; B ; C مستقيمية بطريقتين

تصحيح

1) طريقة 1:
aff(AC^→)=-1-i-(1+3i)=-2-4i⇒AC^→(-2;-4)
aff(AB^→)=i-(1+3i)=-1-2i⇒AB^→(-1;-2)
⇒AC^→=2AB^→
اذن النقط A; B ; C مستقيمية
2) طريقة 2:

c-a	=	-2-4i	=2∈IR
b-a		-1-2i

اذن النقط A; B ; C مستقيمية

11.5 النقط المتداورة

11.5.1 تعريف

نقول ان نقول ان النقط A; B; C; D متداورة اذا كانت تنتمي الى نفس الدائرة ونقول ايضا ان الرباعي ABCD دائري

11.5.2 خاصية

الرباعي ABCD دائري اذا وفقط اذا كان

Zb-Za	×	Zd-Zc	∈IR
Zd-Za		Zb-Zc
Zc-Zb	×	Za-Zd	∈IR او
Za-Zb		Zc-Zd

تمرين

بين ان النقط A(1-i√3) ; B(-1-i√3) ;C(2i) ; D(2)
متداورة

تصحيح

1) طريقة 1: اذا كان من السهل تحديد مركز الدائرة نمر مباشرة كمثل هذا السؤال نلاحظ ان |Za|=|Zb|=|Zc|=|Zd|=2 وهذا يعني ان OA=OB=OC=OD=2 اذن النقط A; B; C; D متداورة اي تنتمي الى نفس الدائرة التي مركزها O وشعاعها 2
2) طريقة 2: نطبق الخاصية السابقة

H=	Zb-Za	×	Zd-Zc
	Zd-Za		Zb-Zc
=	-1-i√3-1+i√3	×	2-2i
	2-1+i√3		-1-i√3 -2i
=	-2	×	-2(1-i)
	1+i√3		+1+i(2+√3)
=	1-i√3	×	-1-√3-i(3+√3)
	1		1+(2+√3)²

بعد القيام بنشر البسط والاختزال نحصل على
H=-4-4√3∈IR وبالتالي النقط A; B; C; D متداورة