10- المعادلة az²+bz+c=0 حيث a;b;c∈IR a≠0

10.1 المعادلة z²=x حيث x∈IR

10.1.1 حلول المعادلة

نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة z²=x حيث x∈IR
اذا كان x≥0 فان z=√(x) او z=-√(x)
اذا كان x< 0 فان x=-|x| اي ∃t∈IR: x=(it)² (t=√(|x|))
ومنه فان z=it او z=-it

10.1.2 خاصية

كل عدد عقدي غير منعدم z يقبل جذرين متقابلين في المجموعة ℂ

10.2 المعادلة az²+bz+c=0

10.2.1 الشكل القانوني

الشكل القانوني لثلاثية الحدود T(z)=az²+bz+c هو العدد المعرف كما يلي :

T(z)=a([z+	b	]²-	Δ	)
	2a		(2a)²

نضع , Δ=b²-4ac: ويسمى هذا العدد , مميز ثلاثية الحدود T(z), (مهم !)

10.2.2 تعميل T(z) وحلول المعادلة
az²+bz+c=0

1) اذا كان Δ= 0 فان تعميل الحدودية T(z) هو :

T(z)=a(z+	b	)²
	2a

ومنه فان المعادلة az²+bz+c=0 تقبل حلا مزدوجا z₁:

z1=	-b
	2a

2) اذا كان Δ> 0 للتذكير ( Δ∈IR) فان تعميل الحدودية T(z) هو :

T(z)=a(z-	-b-√(Δ)	)(z-	-z+√(Δ)	)
	2a		2a

اذن az²+bz+c تقبل جذرين مختلفين

z1=	-b-√(Δ)	; z2=	-b+√(Δ)
	2a		2a

3) اذا كانت Δ< 0 للتذكير ( Δ∈IR)
فان : (i√|Δ|)²=Δ
ومنه فان تعميل T(z) هو :

T(z)=a(z-	-b-i√(|Δ|)	)(z-	-z+i√(|Δ|)	)
	2a		2a

اذن az²+bz+c تقبل جذرين عقديين مرافقين

z1=	-b-i√(|Δ|)	; z2=	-b+i√(|Δ|)
	2a		2a

نتيجة

اذا كانت Δ≠0 فان تعميل T(z) هو :
T(z)=a(z-z₁)(z-z₂)

10.2.3 خاصيات

نعتبر في المجموعة ℂالمعادلة (E): az²+bz+c=0
حيث a;b;c∈ℝ, a≠0
و Δ=b²-4ac هو مميز المعادلة
اذا كانت Δ=0 فان المعادلة (E) تقبل حلا مزدوجا

S={	-b	}
	2a

اذا كانت Δ>0 فان المعادلة (E) تقبل حلين حقيقيين مختلفين

S={	-b-√(Δ)	;	-b+√(Δ)	}
	2a		2a

اذا كانت Δ< 0 فان المعادلة (E) تقبل حلين عقديين مرافقين

S={	-b-i√(|Δ|)	;	-b+i√(|Δ|)	}
	2a		2a

تمرين

حل في المجموعة ℂ كل من المعادلات التالية
1) z²-√3z+3
2) 3z²+2√3z+1=0
3) z²+2z+3=0
4) 2z²-5z+3=0

تصحيح

1) z²-√3z+3
Δ=b²-4ac=3-12=-9 < 0
Δ=(i3)²
اذن المعادلة تقبل حلين مرافقين

z1=	-b-i√(|Δ|)	; z2=	-b+i√(|Δ|)
	2a		2a
z1=	√3-3i	; z2=	√3+3i
	2		2

S={	√3	-i	3	;	√3	+i	3	}
	2		2		2		2

2) 3z²+2√3z+1=0
Δ=b²-4ac=12-12= 0
اذن المعادلة تقبل حلا مزدوجا

z1=	-b	=	√3
	2a		3
S={	√3	}
	√3

3) z²+2z+3=0
Δ=b²-4ac=4-12=-8 < 0
Δ=(i2√2)²
اذن المعادلة تقبل حلين مرافقين
S={-1-i√2 ; -1+i√2}
4) 2z²-5z+3=0
Δ=b²-4ac=25-24=1> 0
اذن المعادلة تقبل حلين حقيقيين مختلفين
S={1; 1,5}

تمرين

حدد مجموعة النقط M(z) من المستوى في كل من الحالات التالية
1) (z-1)(z+i)∈IR

Z=	z-1	∈iIR	(2
	z+i

تصحيح

نضع z=x + yi اذن z=x - yi
1) (z-1)(z+i)(x-iy-1)(x+iy+i)
=x(x-1)+y(y+1)+i((x-1)(y+1)-xy)
=x²+y²-x+y+i(x-y-1)
اذن
(z-1)(z+i)∈IR
⇔x-y-1=0
وهذا يعني ان المجموعة المطلوبة هي مستقيم معادلته
x-y-1=0

2)

Z=	x-1+iy
	x+i(y+1)
=	(x-1+iy)(x-i(y+1))
	x²+(y+1)²
=	x²+y²-x+y+i(x-y-1)
	x²+(y+1)²
=	x²+y²-x+y	+i	(x-y-1)
	x²+(y+1)²		x²+(y+1)²

Z∈iIR⇔x²+y²-x+y=0⇔
(x-0,5)²+(y+0,5)²-0,25-0,25=0
⇔(x-0,5)²+(y+0,5)²=0,5
وهي معادلة دائرة مركزها Ω(0,5 ; -0,5) وشعاعها
√(0,5)