Exercice 1 tp

Soit h une homothétie de centre (W(1+i) et de rapport 3 . Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par h
1) Déterminer la forme complexe de l'homothétie h
2) Déterminer B image du point A(3+5i) par h

Correction

1) forme complexe de l'homothétie h
h(M)=M' ⇔ z' = (1+i) + 3(z - (1+i))
⇔ z' = 3z-2-2i
Ainsi z' = 3z - 2 - 2i est la forme complexe de h

2) Image du point A(1+2i) par h
h(A) = B ⇔ z_B = 3z_A - 2 - 2i
⇔ z_B = 3(3+5i) - 2 - 2i
⇔ z_B = 9+15i - 2 - 2i
⇔ z_B = 7 + 13i
Ainsi B(7 + 13i)

Exercice 2 tp

Soit T une transformation dans le plan complexe. Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par T tel que
z' + 2i = 5z
Montrer que T est une homothétie et déterminer ses éléments caractéristiques

Correction

Doient M₁(z₁) et M₂(z₂) deus points du plan complexe et M'₁(z'₁) et M'₂(z'₂) leurs images respectives par T
T(M₁) = M'₁ et T(M₂) = M'₂

T(M₁) = M'₁ ⇔ z'₁ + 2i = 5z₁
T(M₂) = M'₂ ⇔ z'₂ + 2i = 5z₂
Donc z'₂ + 2i - (z'₁ + 2i) = 5z₂ - 5z₁
⇔ z'₂ - z'₁ = 5(z₂ - z₁)
⇔ M'₁M'₂^→ = 5M₁M₂^→
Et d'après la propriété caractéristique d'une homothétie alors T est une homothétie de rapport 5
Il reste à déterminer son centre w(z_w) et cela revient à déterminer le seul point invariant par l'homothétie T

T(w) = w ⇔ z_w + 2i = 5z_w
⇔ 5z_w - z_w = 2i ⇔ 4z_w = 2i

Finalement T est une homothétie de rapport 5

Exercice 3 tp

Soit R une rotation de centre W(2i) et d'angle

Déterminer la forme complexe de la rotation R

Correction

Soit M(z) un point d'affixe z∈ℂ et M'(z') son image par R
R(M) = M' ⇔ z' - a = (z-a)e^ix
⇔ z' = 2i + (z - 2i)e^iπ/4

Ainsi

Exercice 4 tp

Soit R une rotation de centre W(i) et d'angle π/2
1) Donner la forme complexe de R
2) Déterminer B image de A(1-i) par R

Exercice 5 tp

Soit T une transformation dans le plan complexe. Soient M(z) un point d'affixe z et M'(z') son image par T tel que
z' + 2i = iz
Montrer que T est une rotation et déterminer ses éléments caractéristiques