Mathématiques du secondaire qualifiant

Nombres complexes (14)

Exercice 1 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O;i;j). On considère les points A(1+3i) ; B(i) ; C(-1-i)
Montrer avec deux méthode que A ; B ; C sont alignés

Correction

1) Première méthode
aff(AC)=-1-i-(1+3i)=-2-4i⇒AC(-2;-4)
aff(AB)=i-(1+3i)=-1-2i⇒AB(-1;-2)
Donc AC = 2AB

Et cela signifie que les vecteurs AC et AB sont colinéares
Ainsi A ; B et C sont des points alignés
2) Deuxième méthode

c-a = -2-4i = 2∈IR
b-a-1-2i

Et donc A; B ; C sont alignés

Rappel
1) Les points A; B; C et D sont cocyclique s'ils appartiennent au même cercle

2) Le points A(a) ; B(b) ; C(c) et D(d) sont cocycliques si et seulement si

ou b - a × d - c ∈IR
d - ab - c
c - b×a - d ∈IR
a - bc - d

Remarque
Les points A ; B ; C et D sont cocycliques signifie que
(CB ; CD) + (AD ; AB) = π
ou
(BA ; BC) + (DC ; DA) = π

Signifie encore le quadrilatère ABCD est cocyclique

Exercice 2 tp

Dans le plan complexe rapporté à un repère
orthonormé direct (O;i;j), on considère les points A(1-i√3) ; B(-1-i√3) ; C(2i) et D(2)
Montrer que A ; B ; C et D sont cocycliques

Correction

1) Première méthode: si le centre du cercle est simple à déterminer comme c'est le cas | a | = | b | = | c | = | d | = 2 et cela signifie que OA=OB=OC=OD=2 donc A; B; C; D appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2

Ainsi les points A; B; C; D sont cocycliques
2) Deuxième méthode

H = b - a×d - c
d - ab - c
= -1-i√3-1+i√3×2-2i
2-1+i√3-1-i√3 -2i
= -2×-2(1-i)
1+i√31+i(2+√3)
= -(1-i√3)×-1-√3-i(3+√3)
14 + 2√(3)
H = -2-2√3 ∈IR
2+√3

Donc A ; B ; C ; D sont cocycliques