Exercice 1 tp

Soit x∈IR
Déterminer la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants
z₁ = cos(x) - isin(x)
z₂ = - 2cos(x) + 2isin(x)
z₁ = - 5cos(x) - 5isin(x)
z₁ = sin(x) + icos(x)

Correction

Notons que la forme trigonométrique d'un nombre complexe z s'écrit sous la forme
z = |z|(cos(α) + isin(α))
tels que | z | est le module de z donc un nombre positif
et α est un argument de z
1) Forme trigonométrique de z₁
On a z₁ = cos(x) - isin(x)
et |z₁| = √(cos²(x)+sin²(x)) = 1 donc le seul problème, se pose sur le (-) avant i

La fonction sin est impaire donc sin(-x)= -sin(x)
Pour avoir le même argument on doit utiliser la parité de la fonction cos
On a cos(-x)=cos(x)
Donc z₁ = cos(-x) + isin(-x) est une forme trigonométrique de z₁
Remarque arg(z₁)≡(-x)[2π]
2) Forme trigonométrique de z₂
On a z₂ = - 2cos(x) + 2isin(x)
et |z₂| = √((-2cosx)² + (2sinx)²)
= √(4(cosx)² + 4(sinx)²) = √(4(cos²x + sin²x))

|z₂|= 2 donc z₂ = 2(- cos(x) + isin(x) )
le seul problème, se pose sur le (-) avant cosx
Nous utilisons les relations des lignes trigonométriques
cos(π - x) = -cos(x) et sin(π - x) = sin(x)
Donc z₂ = 2(cos(π - x) + isin(π - x)) est une forme trigonométrique de z₂
Remarque arg(z₂)≡(π-x)[2π]

3) Forme trigonométrique de z₃
On a z₃ = - 5cos(x) - 5isin(x)
et |z₃| = √((-5cosx)² + (-5sinx)²)
= √(25(cosx)² + 4(sinx)²) = √(25(cos²x + sin²x))
|z₂|= 5 donc z₃ = 5(- cos(x) - isin(x) )
le problème, se pose sur le (-) avant cosx et avant i
Nous utilisons les relations des lignes trigonométriques
cos(π + x) = -cos(x) et sin(π + x) = -sin(x)

Donc z₃ = 5(cos(π + x) + isin(π + x)) est une forme trigonométrique de z₃
Remarque arg(z₃)≡(π+x)[2π]
4) Forme trigonométrique de z₄
On a z₄ = sin(x) + icos(x)
et |z₄| = √(sin²(x)+cos²(x)) = 1
le problème se pose sur la partie réelle sin(x) et la partie imaginaire cos(x) de z₄

Nous utilisons les relations des lignes trigonométriques

Donc

Remarque