Mathématiques du secondaire qualifiant

Nombres complexes (5)

Exercice 1 tp

Soit x∈IR
Déterminer la forme trigonométrique de chacun des nombres complexes suivants
z1 = cos(x) - isin(x)
z2 = - 2cos(x) + 2isin(x)
z1 = - 5cos(x) - 5isin(x)
z1 = sin(x) + icos(x)

Correction

Notons que la forme trigonométrique d'un nombre complexe z s'écrit sous la forme
z = |z|(cos(α) + isin(α))
tels que | z | est le module de z donc un nombre positif
et α est un argument de z
1) Forme trigonométrique de z1
On a z1 = cos(x) - isin(x)
et |z1| = √(cos²(x)+sin²(x)) = 1 donc le seul problème, se pose sur le (-) avant i

La fonction sin est impaire donc sin(-x)= -sin(x)
Pour avoir le même argument on doit utiliser la parité de la fonction cos
On a cos(-x)=cos(x)
Donc z1 = cos(-x) + isin(-x) est une forme trigonométrique de z1
Remarque arg(z1)≡(-x)[2π]
2) Forme trigonométrique de z2
On a z2 = - 2cos(x) + 2isin(x)
et |z2| = √((-2cosx)² + (2sinx)²)
= √(4(cosx)² + 4(sinx)²) = √(4(cos²x + sin²x))

|z2|= 2 donc z2 = 2(- cos(x) + isin(x) )
le seul problème, se pose sur le (-) avant cosx
Nous utilisons les relations des lignes trigonométriques
cos(π - x) = -cos(x) et sin(π - x) = sin(x)
Donc z2 = 2(cos(π - x) + isin(π - x)) est une forme trigonométrique de z2
Remarque arg(z2)≡(π-x)[2π]

3) Forme trigonométrique de z3
On a z3 = - 5cos(x) - 5isin(x)
et |z3| = √((-5cosx)² + (-5sinx)²)
= √(25(cosx)² + 4(sinx)²) = √(25(cos²x + sin²x))
|z2|= 5 donc z3 = 5(- cos(x) - isin(x) )
le problème, se pose sur le (-) avant cosx et avant i
Nous utilisons les relations des lignes trigonométriques
cos(π + x) = -cos(x) et sin(π + x) = -sin(x)

Donc z3 = 5(cos(π + x) + isin(π + x)) est une forme trigonométrique de z3
Remarque arg(z3)≡(π+x)[2π]
4) Forme trigonométrique de z4
On a z4 = sin(x) + icos(x)
et |z4| = √(sin²(x)+cos²(x)) = 1
le problème se pose sur la partie réelle sin(x) et la partie imaginaire cos(x) de z4

Nous utilisons les relations des lignes trigonométriques

{ cos(π - x) = sin(x)
2
sin(π - x) = cos(x)
2

Donc

z4 = 5(cos( π - x) + isin( π - x) )
2 2

Remarque

arg(z4) ≡ ( π - x) [2π]
2