1- مشتقة دالة عددية

1.1 العدد المشتق (تذكير )

1.1.1 تعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I و a∈I. نقول ان الدالة f قابلة للاشتقاق في a اذا وجد عدد حقيقي L بحيث :

limh→0	f(a+h)-f(a)		=L
	h

L يسمى العدد المشتق للدالة f في a ونرمز له ب f'(a) ونكتب :

limh→0	f(a+h)-f(a)		=f'(a)
	h

ملاحظة بوضع (a+h=x)

f'(a)=limh→0	f(a+h)-f(a)
	h

f'(a)= limx→a	f(x)-f(a)		اذن
	x-a

1.1.2 التأويل الهندسي للعدد المشتق

معادلة المماس :

اذا كانت f قابلة للاشتقاق في a فان المنحنى Cf يقبل مماسا معادلته
y=f'(a)(x-a)+f(a) في النقطة ذات الافصول a

تقريب تآلفي

لتكن f دالة قابلة للاشتقاق في a
الدالة x→f'(a)(x-a)+f(a) هي تقريب تآلفي للدالة f في النقطة a
(اي f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0)

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة ب f(x)=√(x)
1)حدد التقريب التآلفي f(1+h) بجوار 0 ?
2) تطبيق: حدد قيمة مقربة للعدد √(1,005)

تصحيح

لدينا : f(a+h)≃hf'(a)+f(a); h→0
و f(1)=1 اذن يجب حساب العدد المشتق f'(1)

limx→1	f(x)-f(1)
	x-1
=limx→1	1
	√(x)+1

اذن f'(1)=0,5
وبالتالي f(1+h)≃(0,5)h+1
لاحظ ان √(1,005)=√(1+0,005)
0,005 يقترب من 0 والدالة x→√(x) قابلة للاشتقاق في 1 اذن
f(1+0,005)≃0,005f'(1)+f(1) اي √(1,005)≃0,005×(0,5)+1
ومنه فان √1,005 ≃1,0025

1.2 الاتصال والاشتقاق

1.2.1 خاصية

f قابلة للاشتقاق في a ⇒ f متصلة في a .

برهان

لدينا :

limaf(x)-f(a)=lima	(x-a)(f(x)-f(a)
	x-a
=lima(x-a).lima	f(x)-f(a)
	x-a

اي lim_a f(x)-f(a)= 0.f'(a) = 0
اذن lim_af(x)=f(a) وبالتالي f متصلة في a

1.2.2 ملاحظة :

عكس الخاصية السالفة ليس دائما صحيحا
مثال مضاد: لتكن f دالة معرفة بما يلي :

{	f(x)=x+1 , x< 2
	f(x)=2x-1 , x≥2

f متصلة في 2 لكن غير قابلة للاشتقاق في 2

1.3 الاشتقاق على مجال , العمليات على الاشتقاق

1.3.1 خاصية وتعريف

لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
f قابلة للاشتقاق على المجال I اذا كانت قابلة للاشتقاق في كل نقطة من المجال I والدالة المشتقة للدالة f على المجال I نرمز لها ب f' هي دالة تربط كل عنصر x من I بالعدد المشتق f'(x) .

1.3.2 مشتقة الجمع والجذاء

لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على مجال I و k∈IR و n∈IN*
الدوال f+g; kf; fg و fⁿ قابلة للاشتقاق على I ولدينا :
(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)
(kf)'(x)=kf'(x)
(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
(fⁿ)'(x)=nf^n-1f'(x)

مثال 1

لتكن f دالة معرفة كما يلي :
f(x)=(x²-7x)(3x+5)
احسب f'(x) حيث x∈IR

تصحيح

لدينا f جذاء دالتين قابلتين للاشتقاق على IR اذن قابلة للاشتقاق على IR, ليكن x∈IR:
f'(x)=[(x²-7x)(3x+5)]'
=((2.x-7)(3x+5)+(x²-7x)(3)
اي f'(x)=(6x²+10x-21x-35)+(3x²-21x)
اذن ∀x∈IR, f'(x)=9x²-32x-35

مثال 2

لتكن f دالة معرفة ب : f(x)=(5x³-1)²
احسب f'(x) حيث x∈IR, .

تصحيح

لدينا f مربع دالة قابلة للاشتقاق على IR اذن قابلة للاشتقاق على IR ليكن x∈IR:
f'(x)=[(5x³-1)²]'=2(5x³-1)'(5x³-1)^2-1
=2(5.3x²)(5x³-1)=30x².5x³-30x²
اذن ∀x∈IR: f'(x)=150x⁵-30x²

1.3.3 مشتقة المقلوب

خاصية

اذا كانت الدالة g لا تنعدم على المجال I فان مقلوب الدالة g قابل للاشتقاق على I
∀x∈I لدينا :

(	1	)'(x)=	-g'(x)
	g		(g(x))²

1.3.4 نتيجة

∀x∈I لدينا :

(	f	)'(x)=	f'(x)g(x)-f(x)g'(x)
	g		(g(x))²

تمرين

لتكن f دالة عددية معرفة ب :

f(x)=	5x
	x²-4

احسب f'(x) حيث x∈Df, .