الاشتقاق (2)
2- مشتقة الدالة العكسية ومركب دالتين قابلتين للاشتقاق
2.1 مشتقة مركب دالتين قابلتين للاشتقاق
2.1.1 مثال
لتكن f و g دالتين معرفتين بما يلي : f(x)=2x-1 و g(x)=x²
1) حدد gof(x):
2) احسب f(3); f'(3); g'(5) ; gof'(3)
تصحيح
1) لدينا Df=IR و Dg=IR اذن f(IR)⊂IR
f:x→f(x)= y و g:y→y²=(2x-1)²=4x²-4x+1
اذن ∀x∈IR: g(f(x))=4x²-4x+1
2) f(3)=2.3-1=5 ولدينا : f دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على I و f'(x)=2 اذن f'(3)=2
g قابلة للاشتقاق على IR و g'(x)=2x اذن g'(5)=2.5=10
لدينا gof دالة حدودية اذن قابلة للاشتقاق على IR و (gof)'(x)=8x-4
اذن (gof)'(3)=8.3-4=20
ملاحظة : (gof)'(3)=g'(f(3))f'(3)
2.1.2 خاصية
لتكن f و g دالتين معرفتين على التوالي على I و J بحيث f(I)⊂J
اذا كانت f قابلة للاشتقاق في a و g قابلة للاشتقاق في f(a) فان gof قابلة للاشتقاق في a
ولدينا (gof)'(a)=g'(f(a))f'(a)
اذا كانت f قابلة للاشتقاق على I و g قابلة للاشتقاق على J فان gof قابلة للاشتقاق على I
ولدينا ∀x∈I (gof)'(x)=g'(f(x))f'(x)
برهان :
ليكن a∈I,
| lima | gof(x)-gof(a) |
|---|---|
| x-a | |
| = lima | (gof(x)-gof(a)).(f(x)-f(a)) |
| (f(x)-f(a)).(x-a) | |
| =g'(f(x)).f'(x) | |
2.1.3 حالة خاصة
اذا كانت f قابلة للاشتقاق على I فان لكل x∈I
(f(ax+b))'(x)= af'(ax+b)
مثال :
f(x)= sin(2x+3), احسب f'(x)
تصحيح
sin قابلة للاشتقاق على IR اذن f قابلة للاشتقاق على IR, ليكن x∈IR لدينا f'(x)=2sin'(2x+3)=2cos(2x+3)
2.2 مشتقة الدالة العكسية
2.2.1 تذكير
لتكن f دالة عددية معرفة على مجال I
اذا كانت f متصلة ورتيبة قطعا على I فانها تقبل دالة عكسية معرفة من f(I) نحو I
2.2.2 خاصية
1) لتكن f دالة متصلة ورتيبة قطعا على I و a∈I
اذا كانت f قابلة للاشتقاق في a و f'(a)≠0 فان الدالة العكسية f-1 قابلة للاشتقاق في b=f(a)
ولدينا :
| (f-1)'(b) = | 1 | = | 1 |
| f'(f-1(b)) | f'(a) |
| ∀y∈J: (f-1)'(y) = | 1 |
| f'(f-1(y)) |
برهان :
لدينا ∀y∈f(I);∃x∈I: y=f(x):
| limb | f-1(y)-f-1(b) |
|---|---|
| y-b | |
| = lima | f-1(f(x))-f-1((f(a)) |
| f(x)-f(a) | |
| = lima | x-a |
| f(x)-f(a) |
| = | 1 | = | 1 |
|---|---|---|---|
| f'(a) | f'(f-1(b)) |
تمرين
نعتبر الدالة f المعرفة كما يلي
f(x)=x-2√(x)
1) 1. ادرس اتصال وقابلية الاشتقاق للدالة f على IR+
2. ادرس اشارة f' ثم استنتج تغيرات الدالة f
3. انشئ جدول تغيرات الدالة f
4. حدد f(4)
2) نعتبر g قصور الدالة f على المجال
[1;+∞[
1. بين ان الدالة g تقبل دالة عكسية معرفة على المجال J يجب تحديده
2. بين ان الدالة g-1 قابلة للاشتقاق في 0 وحدد (g-1)'(0)
3. حدد الدالة العكسية g-1 على المجال J.
تصحيح
D=IR+
1)1. الدالة √ متصلة على IR+ اذن الدالة f متصلة على IR+
الدالة √ قابلة للاشتقاق على IR+* اذن الدالة f قابلة للاشتقاق على IR+*
ندرس قابلية الاشتقاق في 0+
| lim0+ | f(x)-f(0) | |
| x-0 | ||
| =lim0+ | x-2√(x) | |
| x | ||
| =lim0+1- | 2√(x) | |
| x | ||
| =lim0+1- | 2 | =-∞ |
| √x |
2. لدينا f'(x)=1-(√x)-1=(√x -1)(√x)-1 حيث x∈IR+*
اذن اشارة f'(x) هي اشارة √x -1
f'(x)=0⇔√x -1=0 ⇔x=1
f'(x)>0⇔x>1 ∧ f'(x)<0⇔x≤1
وهذا يعني ان f تزايدية قطعا على ]1;+∞[ وتناقصية قطعا على [0;1]
3. جدول التغيرات
بخطوات بسيطة نجد
limf(+∞)f(x)=+∞
| x | 0 | 1 | +∞ | ||
| f'(x) | || | - | 0 | + | |
| f | 0 | ↘ | -1 | ↗ | +∞ |
2) 1. لدينا f متصلة على IR+ وبالخصوص على I=[1;+∞[ اذن قصورها g متصلة على I
ولدينا f تزايدية قطعا على I اذن قصورها g تزايدية قطعا على I
وهذا يعني ان الدالة g تقبل دالة عكسية معرفة من J=f(I) نحو I
J=f(I)=f([1;+∞[)
=[f(1);lim(+∞)f(x)[=[-1;+∞[
2. لدينا f(4)=0 و 0∈J اذن g-1(0)=4
وبما ان الدالة g قابلة للاشتقاق في 4 و g'(4)=(√4 -1)(√4)-1=1.0,5=0,5≠0
فان الدالة g-1 قابلة للاشتقاق في 0 ولدينا
| (g-1)'(0) = | 1 | = | 1 | =2 |
| g'(4) | 0,5 |
g-1(x)=y, x≥-1 ⇔ g(y)=x, y≥1
⇔y-2√y -x=0
نضع √y=t اذن
y=t²
المعادلة تصبح
t²-2t-x=0
t²-2t-x=0⇔t²-2t+1-1-x=0
⇔(t-1)²=1+x ; ≥0
⇔t=1+√(1+x) v t=1-√(1+x)
وبما ان
t=√y≥1
فان
t=1+√(1+x)
g-1(x)=1+√(1+x) وبالتالي
x∈[-1;+∞[ حيث