3- مشتقة الدالة x→ⁿ√x حيث n≥1

نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال I=]0;+∞[ حيث y∈I; f(y)=yⁿ
ليكن x∈J=]0;+∞[
ⁿ√x =y ⇔ x=yⁿ=f(y)
لدينا f قابلة للاشتقاق على I=]0;+∞[ و f'(y)=ny^n-1 ≠0 اذن f^-1 قابلة للاشتقاق على J=f(I)=]0;+∞[

(n√x)' =	1
	n(n√x)n-1

3.1 خاصية

الدالة ⁿ√x قابلة للاشتقاق على IR+*

(n√x)' =	1
	n(n√x)n-1

مثال

(5√x)' =	1
	5(5√x)4

3.2 نتيجة

اذا كانت f موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على I فان ⁿ√f قابلة للاشتقاق على I ولدينا

(n√f)' =	f'
	n(n√f)n-1

تمرين

نعتبر الدالتين المعرفتين كما يلي
f(x)=ⁿ√(x²+x+3) و g(x)=x-√(2x-1)
احسب f'(x) و g'(x)

4- القوى الجذرية x^r حيث (r∈Q*)

4.1 تذكير

ليكن x∈IR*+ و r عدد جذري غير منعدم بحيث

p∈Z* و q∈IN* حيث	r=	p
		q

العدد x^r يسمى قوى جذرية للعدد x ونكتب x^r=^q√x^p

4.2 خاصية

ليكن r∈Q*, الدالة x→x^r متصلة وقابلة للاشتقاق على IR*+
ولدينا لكل x>0; (x^r)'=rx^r-1

مثال :

(x^2/3)' =(2/3)x^{2/3 - 1} =(2/3)x^-1/3

4.3 نتيجة

ليكن r∈Q* و f الدالة المعرفة ب f(x)=(g(x))^r
اذا كانت g موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على I فان f قابلة للاشتقاق على I ولدينا :
∀x∈I, f'(x)=rg'(x)(g(x))^r-1

مثال :

f(x)=(x²-1)^-5/3
Df = {x∈IR/ x²-1>0}
=]-∞:-1[∪]1;+∞[
الدالة x→x²-1 موجبة قطعا وقابلة للاشتقاق على Df اذن f قابلة للاشتقاق على Df
ولدينا f'(x)=(-5/3)(x²-1)'(x²-1)^{-5/3 - 1}
اذن ∀x∈Df: f'(x)=(-10/3)x(x²-1)^-8/3