Equations Différentielles (1)
1- Equations différentielles y'=ay+b
1.1 Définition et propriétés
1.1.1 Définition
Soient a et b deux nombres réels.
On désigne par y à une fonction f et par y' à la fonction dérivée f'.
L'équation y'=ay+b est appelée équation différentielle du premier ordre d'inconnue y.
Exemples
1) y' = 2y + 5.
2) y' = 7y.
1.1.2 Premier cas y'=ay
Soit a∈IR et y'=ay une équation différentielle.
1) Si y=0 alors y est une solution particulier de l'équation y'=ay.
| 2) Si y≠0 alors y'=ay ⇔ | y' | = a |
| y |
⇔ ln|y|=ax+t tel que t∈IR
⇔ y = ±eax+t
⇔ y = ±et.eax.
On pose ±et = k car c'est une constante
alors y=keax est la solution générale de l'équation y'=ay.
1.1.3 Propriété 1
Soit a∈IR.
La solution générale de l'équation différentielle y'=ay s'écrit sous la forme y=keax avec k∈IR.
Exemple 1
La solution générale de l'équation y'=3y
y=ke3x avec k∈IR.
Exemple 1
La solution générale de l'équation y'=-5y
y=ke-5x avec k∈IR.
1.2 Deuxième cas y'=ay+b tel que a≠0
1.2.1 Propriété
Soient a;b∈IR avec a≠0.
L'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'=ay+b est l'ensemble des fonctions y définies par
| y = keax - | b | avec k∈IR et a≠0 |
| a |
Démonsration
| y' = ay + b ⇔ y' = a(y + | b | ) |
| a |
| ⇔(y + | b | )'= a(y + | b | ) |
| a | a |
| ⇔ Y' = aY | (avec Y = y + | b | ) |
| a |
d'après le premier cas Y=keax.
| ainsi | y = keax - | b |
| a |
Exemple Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (E): y'=3y+2.
L'ensemble des Solutions de l'équation (E) est l'ensemble des fonctions y définies par
| y = ke3x - | 2 | avec k∈IR |
| 3 |
1.2.2 Propriété
Soient a;b∈IR avec a≠0.
Tous nombres réels u et v il existe une solution unique de l'équation différentielle
y'=ay+b qui vérifie la condition y(u)=v.
Exemple Déterminer f la solution de l'équation (E): y'=2y+5 tel que f(1)=-2.
Les solutions de (E) sont les fonctions y définies par
| y = ke2x - | 5 | avec k∈IR |
| 2 |
| y(1)=-2 ⇔ -2=ke2 - | 5 |
| 2 |
| ⇔ ke2=-2+ | 5 | ⇔ k= | 1 | e-2 |
| 2 | 2 |
| ainsi f(x) = | 1 | e2x-2 - | 5 |
| 2 | 2 |