2- Equations différentielles (E): y"+by'+cy=0

2.1 Définition et résolutions

2.1.1 Définition

Soient b et c deux nombres réels et on désigne par y à la fonction f
par y' à la fonction dérivée f'
et par y" à la fonction dérivée séconde f".
L'équation (E): y"+by'+cy=0 est appelée équation différentielle d'ordre 2.

L'équation r²+br+c = 0 est appelée équation caractéristique de l'équation différentielle (E) et Δ = b²-4c son discriminant.

Exemples
1) y"+3y'+2y=0 est une équation différentielle d'ordre 2
et r²+3r+2=0 son équation caractéristique.
2) L'équation caractéristique de
y"-y'+3y=0 est r²-r+3=0.
3) L'équation caractéristique de
y"+4y'+4y=0 est r²+4r+4=0.

2.1.2 Résolution de y"+by'+cy= 0

On considère l'équation différentielle
(E): y"+by'+cy=0
r²+br+c=0 son équation caractéristique.
On a Δ = b²-4c
Si Δ=0 alors l'équation caractéristique admet une solution double r .
Les solutions de (E) sont les fonctions y définies par
y=(k + k'x)e^rx avec k;k'∈IR.

Si Δ > 0 alors l'équation caractéristique admet deux solutions r et r'.
Les solutions de (E) sont les fonctions y définies par
y = ke^rx + k'e^r'x avec k;k'∈IR.
Si Δ < 0 alors l'équation caractéristique admet deux solutions imaginaires r=p+iq et r'=p'+iq'.
Ainsi l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y=(kcosqx + k'sinqx)e^px avec k;k'∈IR.

2.1.3 Cas particuliers

Soit w∈IR*.
1) Les solutions générales de l'équation
y"+w²y=0 sont de la forme
y = kcos(wx) + k'sin(wx) avec k;k'∈IR.
2) les solutions générales de l'équation
y"-w²y=0 sont de la forme
y=ke^wx + k'e^wx avec k;k'∈IR.

Exercices 1 tp

Résoudre l'équation différentielle suivante
(E): y"-3y'+2y = 0.

Correction

(E) est une équation différentielle d'ordre 2
et (i): r²-3r+2=0 son équation caractéristique.
On a Δ=b²-4ac=9-8=1>0 donc l'équation (i) admet deux solutions dans IR

Donc r₁ = 1 et r₂ = 2.
Ainsi l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y = ke^x + k'e^2x avec k;k'∈IR.

Exercices 2 tp

Résoudre l'équation différentielle suivante
(E): y"+2√(2)y'+2y = 0.

Correction

(E) est une équation différentielle d'ordre 2
et (i): r²+2√(2)r+2=0 son équation caractéristique.

On a Δ=b²-4ac=8-8=1>0
donc l'équation caractéristique (i) admet une solutions double dans IR

et donc r₁ = -√2
ainsi l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des fonctions y définies par
y=(k + k'x)e^-x√(2) avec k;k'∈IR.