Exercices 1 tp

Résoudre l'équation différentielle suivante
(E): y"+2y'+2y = 0.

Correction

(E) est une équation différentielle d'ordre 2
et (i) r²+2r+2=0 son équation caractéristique.
On a Δ=b²-4ac=4-8=-4 < 0
donc l'équation (i) admet deux solutions imaginaires

r1 =	-b-i√|Δ|		r2 =	-b+i√|Δ|
	2a			2a

=	-2-2i		r2 =	-2+2i
	2			2

Donc r₁ = -1-i et r₂ = -1+i.
On utilise la solution r₂=-1+i.
Ainsi Les solutions de (E) sont les fonctions y définies par
y=(kcosx + k'sinx)e^-x avec k;k'∈IR.
Notons que si on utilise la solution r₁=-1-i alors les solutions de l'équation (E) ne changent pas.

2.2 Application

U_G(t) = U_C(t) + U_R(t)
Loi d'Om E= Ri(t)+U_C(t).

i(t) =	dq(t)
	dt
donc E=	Rdq(t)	+ UC(t)
	dt

On a q(t)= CU_C(t)

donc E=	RC.dUC(t)	+ UC(t)
	dt

ou encore

dUC(t)	=	-1	.UC(t)+	E
dt		RC		RC

On obtient une équation différentielle du premier ordre U'=a.U + b
donc U= ke^at+E.
à l'instant t=0 on a U(0)=0 donc k=-E
alors U_C(t)= E(1-e^(-1/RC).t).