1- Ensemble fini

1.1 Définition et notaion

1.1.1 Exemples

1) E={-2;3;7;10} est un ensemble de quatre éléments donc E est un ensemble fini.
2) F={x∈IR/ x>0} est un ensemble infini d'éléments donc F est un ensemble infini.

1.1.2 Définition

On dit qu'un ensemble est fini s'il est constitué d'un nombre fini d'éléments.

Le nombre d'éléments d'un ensemble fini E est appelé cardinal de E et est noté cardE.

1.1.3 Exemples

1) E={-3;-1;0;7;8;12;17;23} est un ensemble de huit éléments
donc E est un ensemble fini et cardE=8.
2) ∅={} est un ensemble vide car il n'est constitué d'aucun élément.

1.2 Intersection de deux ensembles finis

1.2.1 Exemples

Soient E={1;2;3;4;5;7}
F={-3;-2;0;1;5;7;10;13}
deux ensembles.
1) Les éléments communs entre E et F sont 1 ; 5 et 7.
L'ensemble {1;5;7} est appelé intérsection de E et F et est noté E∩F={1;5;7}.

2) Soit G={-2;10;15;20} un ensemble .
il n y'a aucun élément commun entre E et G.
On dit que E et G sont disjoints et est noté E∩G=∅.

1.2.2 Définition

Soient E et F deux parties d'un ensemble finis H.
L'intersection de E et F est l'ensemble des éléments qu'ils ont en commun et est noté E∩F.
En d'autre terme E∩F={x∈H / x∈E et x∈F}.

1.3 Union de deux ensembles finis

1.3.1 Exemple

1) Soient E={-1;0;2;3;5}
et F={-5;2;5;10} deux ensembles.
{-5;-1;0;2;3 5;10} est l'ensemble des éléments de E et F appelé union de E et F et on écrit E∪F.
2) Soit G={7;12;15 } un ensemble.
{-5;2;5;7;10;12;15} est l'ensemble des éléments de F et G appelé union de F et G et est noté F∪G.

1.3.2 Définition

Soient E et F deux parties d'un ensemble fini H.
L'ensemble de tous les éléments de E et F est appelé l'union de E et F et est noté E∪F.
En d'autre terme E∪F={x∈H / x∈E ou x∈F}.
Notons que E∪F=F∪E.

1.3.3 Propriétés

Soient E et F deux ensembles finis.
1) Si E∩F=∅ alors
card(E∪F)=cardE+cardF.
2) Si (E∩F)≠∅ alors
card(E∪F)=cardE + cardF-card(E∩F).