Dénombrement (5)
4- Nombre de combinaisons
4.1 Définition et propriété
4.1.1 Exemple 1
Déterminer les parties de deux éléments de l'ensemble E={1;2;3;4;5}.
Correction
Les parties de deux éléments de E sont
{1;2} ; {1;3} ; {1;4} ; {1;5} ; {2;3} ; {2;4} ; {2;5}; {3;4} ; {3;5} ; {4;5}
il en a 10 et sont appelées combinaison
de deux éléments parmi 5 éléments.
Remarques
1) Le nombre d'arrangements sans répétitions de 2 éléments parmi 5 éléments
A | 2 5 |
=5x4=20 |
2) Le nombre de permutations de 2 éléments 2!=2.1=2 et on a l'égalité
10 = | 20 | = |
A | 2 5 |
2 | 2! |
4.1.2 Exemple 2
Soit E un ensemble de 12 éléments.
Conjecturer le nombre de parties de quatre éléments de E.
Correction
A | 4 12 |
= | 12.11.10.9 | = 495 |
4! | 24 |
4.1.3 Définition
Une combinaison de p éléments parmi n élément (avec p≤n) est un ensemble de p éléments parmi n éléments.
4.1.4 Propriété
Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n éléments est
C | p n |
et est éfini comme suit
C | p n |
= | A | p n |
p! |
Exemples
Calculer
C | 2 8 |
et | C | 4 10 |
Correction
C | 2 8 |
= |
A | 2 8 |
= |
8x7 |
2! | 2 |
donc | C | 2 8 |
= 28 |
C | 4 10 |
= |
A | 4 10 |
= | 10x9x8x7 |
4! | 24 |
donc | C | 4 10 |
= 210 |
4.2 Propriétés du nombre Cpn
4.2.1 Propriété
Soient n et p deux entiers naturels tels que p≤n.
C | 0 n |
= | 1 | C | 1 n |
= | n | |
C | n n |
= | 1 | C | p n |
= C | n-p n |
C | p n |
= |
n! |
p!(n-p)! |
C | p-1 n |
+ | C | p n |
= | C | p n+1 |
si p≥1 alors
C | p n |
= | n | C | p-1 n-1 |
|
p |
4.2.2 Exemples
C | 7 9 |
= | C | 9-7 9 |
= | C | 2 9 |
C | 8 12 |
= | C | 12-8 12 |
= | C | 4 12 |
C | 2 4 |
+ | C | 3 4 |
= C | 2+1 4+1 |
= | C | 3 5 |