Rappel
Soit u une fonction numérique et f une fonction définie par
f(x) = e^u(x)
Domaine de définition de f D={x∈IR/ x∈D_u}=D_u.

Dérivée de f si u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction f= exp o u est dérivable sur I et on a
(∀x∈I): f'(x) = u'(x).e^u(x) .

Exercice 1 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = e^x²+x
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur IR

Correction

La fonction, x→x²+x est un polynôme donc dérivable sur IR
ainsi f est définie et dérivable sur IR . Soit x∈IR
On a f '(x) = (x² + x)'e^x²+x
Donc f '(x) = (2x+1)e^x²+x

Exercice 2 tp

Soit g une fonction définie par
f(x) = e^1/x
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur D

Correction

f est définie si x ≠ 0 donc D = IR*
la fonction

x →	1
	x

est dérivable sur IR* donc la fonction f est dérivable sur IR*

Soit x∈IR*

f '(x) = (	1	)'	e1/x
	x

=	- 1		e1/x
	x²

Ainsi

f '(x) =	- 1		e1/x
	x²

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par
f(x) = e^{√(x - 1)}
Etudier la dérivabilité de la fonction f sur D

Correction

On pose g(x) = √(x-1)
g est définie si x-1 ≥ 0 ou encore si x∈[1 ; +∞[
Donc f est définie sur [1 ; +∞[
Ainsi D = [1 ; +∞[
La fonction g est dérivable
sur l'intervalle ouvert I=]1 ; +∞[
Donc f est dérivable sur I

Et (∀x∈I) on a f '(x) = (√(x-1))'f(x)
ou encore

f '(x) =	1	.f(x)
	2√(x-1)
=	1	e√(x-1)
	2√(x-1)

Ainsi

f '(x) =	1	e√(x-1)
	2√(x-1)

Il reste à étudier la dérivabilité à droite à 1
f(1) = e^√(1-1) = 1

lim 1+	f(x) - f(1)	=	lim 1+	e√(x-1) - 1
	x-1			x-1

On pose √(x-1) = X
x→1⁺ ⇒ X→ 0⁺
√(x-1) = X ⇔ x-1 = X²

Donc

lim 1+	f(x) - f(1)	=	lim X→0+	eX - 1
	x-1			X²

=	lim X→0+	eX - 1	lim X→0+	1
		X		X

= 1 x (+∞) = +∞
Et cela signifie que f n'est pas dérivable à droite à 1
Et donc f est dérivable sur l'intervalle ouvert I.