Rappel
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et h une fonction définie par
h(x) = u'(x)e^u(x)
Les fonctions primitives de la fonction h sont les fonctions x→e^u(x)+k tel que k∈IR.

Exercice 1 tp

Déterminer les fonctions primitives de la fonction f définie par
f(x) = (2x+1)e^x²+x+2.

Correction

La fonction x→x²+x+2 est un polynôme donc dérivable sur IR
Et on a (x²+x+2)' = 2x+1
donc f(x) = (x²+x+2)'e^x²+x+2 = (e^x²+x+2)'
Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions F_k définies sur IR par
F_k(x) = e^x²+x+2+k tel que k∈IR

Exercice 2 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	1	e3/x
	x²

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f

Correction

La fonction x →	3
	x

est dérivable sur IR*

∀x∈IR*: (	3	)' =	-3
	x		x²

Donc

f(x) =	-1	. (	3	) ' e3/x
	3		x

Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions F_k définies sur IR* par

Fk(x) =	-1	e3/x + k tel que k∈IR
	3

Exercice 3 tp

Soit f une fonction définie par

f(x) =	1	e3 + √(x+1)
	√(x+1)

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de f

Correction

D = [-1 ; +∞[
la fonction x→ 3 + √(x+1) est dérivable
sur l'intervalle ouvert I = ]-1 ; +∞[

Soit x∈I

(3 + √(x+1))' = 0 +	1
	2√(x+1)

Donc
f(x) = 2.(3 + √(x+1))' e^{3 + √(x+1)}
Alors l'ensemble des primitives de f est l'ensemble des fonctions F_k définies sur I par
F_k(x) = 2e^{3 + √(x+1)} + k tel que k∈IR

Exercice 4 tp

Déterminer l'ensemble des fonctions primitives de la fonction f définie par

f(x) =	5cos(2x) - 2sin(5x)	esin(2x) + cos(5x)
	10

Correction

La fonction x→sin(2x)+cos(5x) est dérivable sur IR . Soit x∈IR

(sin(2x))' =	1	cos(2x)
	2

(cos(5x))' =	-	1	sin(5x)
		5

(sin(2x) + cos(5x))' =	5cos(2x) - 2sin(5x)
	10

Donc
f(x) = (sin(2x) + cos(5x))' e^{sin(2x) + cos(5x)}
Ainsi l'ensemble des fonctions primitives de f est l'ensemble des fonctions F_k
F_k(x) = e^{sin(2x) + cos(5x)} + k tel que k∈IR