Etude des fonctions numériques (1)
1- Rappels
1.1 Branches infinies et directions asymptotiques
1.1.1 Asymptotes parallèles aux axes du repère
Soit f une fonction numérique et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→). La droite d'équation x=a est une Asymptote à la courbe (C).
| Si | lim a- |
f(x) = ±∞ | ou | lim a+ |
f(x) = ±∞ |
La droite d'équation y=b est une asymptote à (C) au voisinage de ±∞.
| Si | lim ±∞ | f(x) = b |
Exemple Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | 2x |
| x+1 |
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;i→;j→).
| 1) On a | lim +∞ | f(x) = 2 |
Donc la droite (D) d'équation y=2 est une asymptote à (C) au voisinage de +∞.
| 2) On a | lim -1+ | f(x) = +∞ |
donc la droite (D) d'équation (D') d'équation x=-1 est une symptote à (C) à droite à -1.
| 3) On a | lim -1- | f(x) = +∞ |
donc la droite (D) d'équation x=-1 est une asymptote à (C) à gauche à -1.
1.1.2 Asymptote oblique
Propriété 1: Soit (C) une courbe d'une fonction qui admet une limite infinie en ±∞.
| Si | lim ±∞ | f(x)-(ax+b)= 0 avec a∈IR* et b∈IR |
alors la droite (D) d'équation y=ax+b est une
asymptote oblique
à (C) au voisinage de ±∞.
En d'autre terme (D): y=ax+b est une
asymptote oblique
à (C) si f(x) s'écrit sous la forme f(x)=ax+b+h(x)
Avec h une fonction telle que
lim ±∞ | h(x) = 0 |
Exemple Soit f une fonction définie par
| f(x) = x-1+ | 1 |
| x-1 |
lim ±∞ |
f(x)-(x-1)= | lim ±∞ |
1 | =0 |
| x-1 |
| donc | lim ±∞ | f(x)-(x-1) = 0 |
Ainsi la droite d'équation y=x-1 est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞ et de -∞.
Propriété 2
| Si | lim ±∞ | f(x) | = a et | lim ±∞ | f(x)-ax = b |
| x |
alors la droite d'équation y=ax+b est une asymptote oblique à la courbe (C) au voisinage de +∞ ou -∞.