Dérivation et représentation (8)
Exercice 1 tp
Soit f une fonction numérique définie par
| f(x) = | x |
| √(|x+1|) |
1) Déterminer D, le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites suivantes
lim (-1) |
f(x) | lim -∞ |
f(x) | lim +∞ |
f(x) |
3) (a) Calculer f '(x) et étudier son signe puis tracer le tableau de variations de f sur D
(b) Déduire le signe de la fonction f
4) Soit g la restriction de f sur l'intervalle
I=]-1 ; +∞[
(a) Montrer que g admet une fonction réciproque définie sur J qui doit être déterminé
(b) Calculer (g -1)'(0)
Correction
1) f est définie si |x+1|≠0
Donc D=]-∞;-1[∪]-1;+∞[
2) on peut écrire f(x) sans valeur absolue
(x≥ -1 ⇔ |x+1|=x+1)
et (x≤ -1 ⇔ |x+1|=-x-1)
Donc
| { | f(x) = | x | si x < -1 |
| √(-x-1) | |||
| f(x) = | x | si x > -1 | |
| √(x+1) |
lim -∞ | x | = | lim -∞ | x√(-x-1) |
| √(-x-1) | -x-1 | |||
| = | lim -∞ | x | lim -∞ | √(-x-1) |
| -x-1 |
| = | lim -∞ | x | lim -∞ | √(-x-1) |
| -x |
lim -∞ | f(x)= | = -1.(+∞) = - ∞ |
lim +∞ | x | = | lim +∞ | x√(x+1) |
| √(x+1) | x+1 | |||
| = | lim +∞ | x | lim +∞ | √(x+1) |
| x+1 |
| = | lim +∞ | x | lim +∞ | √(x+1) |
| x |
lim +∞ | f(x) | = 1.(+∞) = + ∞ |
|x+1|≥0 d'ou lim|x+1|≥0 ainsi lim√(|x+1|)≥0
lim -1 | x | = | -1 | = - ∞ |
| √(|x+1|) | 0+ |
| Donc | lim -1 | f(x) | = - ∞ |
3) (a) Monotonie de f sur I=]-∞;-1[
| f(x) = | x | si x< -1 |
| √(-x-1) |
x→(-x-1) est strictement positive sur I et dérivable sur IR en particulier sur I
De même x→x est dérivable sur I alors f est dérivable sur I . Soit x∈I on a
| f '(x) = | √(-x-1) - x(√(-x-1))' |
| (√(-x-1))² |
| = | 2(√(-x-1))² + x |
| 2(-x-1)√(-x-1) |
| Ainsi f '(x) = | -x-2 |
| 2(-x-1)√(-x-1) |
f '(x) est de signe de -x-2
f '(x)=0⇔ -x-2=0⇔x=-2
f est strictement croissante sur ]-∞;-2] et strictement décroissante sur
[-2;-1[
Monotonie de f sur
J=]-1;+∞[
| On a f(x) = | x | si x > -1 |
| √(x+1) |
x→(x+1) est strictement positive sur J et dérivable sur IR en particulier sur J
de même x→x est dérivable sur J alors f est dérivable sur J. Soit x∈J on a
| f '(x) = | √(x+1) - x(√(x+1))' |
| (√(x+1))² | |
| = | 2(√(x+1))² - x |
| 2(x+1)√(x+1) |
| Donc f '(x) = | x+2 |
| 2(x+1)√(x+1) |
f'(x) est de signe de x+2
f'(x)=0 ⇔ x+2=0 ⇔ x=-2
-2∉I2 et x+2>0 et donc
f est strictement croissante sur
]-1;+∞[ . Ainsi f ' est définie par
| { | f '(x) = | -x-2 | si x <-1 |
| 2(-x-1)√(-x-1) | |||
| f '(x) = | x+2 | si x>-1 | |
| 2(x+1)√(x+1) |
Tableau de variations de f
| x | -∞ | -2 | -1 | +∞ | |||||
| f'(x) | + | 0 | - | + | |||||
| f | -∞ |
↗ |
-2 | ↘ |
-∞ |
-∞ |
↗ |
+∞ | |
(b) f est strictement croissante sur ]-∞ ; -2]
et strictement décroissante sur [-2 ; -1[
donc f(-2) est une valeur maximale
sur ]-∞ ; -1[ et puisque f(-2)=0
alors ∀x∈]-∞ ; -2] on a f(x)≤0
donc f est négative sur ]-∞ ; -2]
On a f est strictement croissante sur ]-1 ; +∞[
Puisque 0∈]-1 ; +∞[ et f(0)=0 alors f est négative sur ]-1 ; 0] et positive sur [0 ; +∞[
4) (a) On a f est continue et strictement croissante sur ]-1 ; +∞[ donc la restriction g est continue et strictement croissante sur I=]-1 ; +∞[ et donc g admet une fonction réciproque g-1 définie de J=f(]-1 ; +∞[) veres I
| J = ] | lim (-1)+ |
f(x) ; | lim -∞ |
f(x)[ |
Ainsi J = ]-∞ ; +∞[ = IR
(b) On a f(0)=0 et 0∈J donc g-1(0)=0
Puisque g est dérivable au point 0
| et g '(0) = | 0+2 | = 1 ≠ 0 |
| 2(0+1)√(0+1) |
alors g-1 est dérivable au point 0
| (g-1)'(0) = | 1 | = | 1 |
| g '(0) | 1 |
Donc (g-1)'(0) = 1
(c) g est strictement croissante sur I donc g