Mathématiques du secondaire qualifiant

حساب التكامل (1)

1- تكامل دالة متصلة على قطعة

1.1 تعريف وترميز

لتكن f دالة معرفة على المجال I=[a;b] و F دالة اصلية للدالة f, العدد F(b)-F(a) يسمى تكامل الدالة f من a الى b ويكتب على الشكل التالي

b

a
f(x)dx = [F(x)]b
a

وتقرأ مجموع f(x)dx من a الى b او تكامل من a الى b ل f(x)dx

ملاحظة :

اذا كانت G دالة اصلية اخرى للدالة f فان :
b

a
f(x)dx = [G(x)]b
a
= G(b)-G(a)=F(b)-F(a)
يمكن استعمال حروف غير x على سبيل المثال t;u;...
b

a
f(x)dx = b

a
f(t)dt = [F(t)]b
a

مثال 1

2

1
3x²dx=[x³]2
1
=8 -1=7

مثال 2

e
∫(
2
1)dx = [lnx]e
2
= lne -ln2= 1-ln2
x

1.2 التأويل الهندسي للعدد

I=b

a
f(x)dx
اذا كانت f متصلة وموجبة على [a;b] فان التكامل I يمثل S, مساحة جزء المستوى المحصور بين المنحنى (C) ومحور الافاصيل والمستقيمين (D):x=a و (D'): x=b
نقوم بتقسيم القطعة [a;b] الى n قسمة متساوية طولها :
Δxi=b-a
n

ونعتبر المستطيلات الصغيرة جدا طولها Δxi وارتفاعها f(xi)
مساحة كل مستطيل تقريبا يساوي Δxi.f(xi)
اي S ≃x1.f(x1) + x2.f(x2) + ... + xn.f(xn)
وعندما n→+∞ فان هذا المجموع يؤول الى S

مساحة

1.3 خاصيات التكامل

لتكن f و g دالتين متصلتين على I=[a;b] و c∈I و k∈IR
الدالة G المعرفة على I ب :
x→G(x) = x

a
f(t)dt
هي الدالة الاصلية للدالة f التي تنعدم في a

2- التكامل والعمليات

b

a
f(x)dx = - a

b
f(x)dx
a

a
f(x)dx = 0
علاقة شال :

b

a
f(x)dx = c

a
f(x)dx + b

c
f(x)dx
الخطانية :

b

a
(f(x)+g(x))dx =
b

a
f(x)dx + b

a
g(x)dx
b

a
kf(x)dx = k b

a
f(x)dx

مثال

2

-1
|x-1|dx = 1

-1
-(x-1)dx + 2

1
(x-1)dx
= [(-1/2)x²+x]1
-1
+ [(1/2)x²-x]2
1
=5/2

3- التكامل والترتيب

3.1 خاصيات

لتكن f دالة متصلة على المجال I=[a;b], اذا كانت f موجبة على المجال I فان F' موجبة
اذن F تزايدية على I
ومنه فان F(b)-F(a) موجب

3.1.1 خاصية 1

لتكن f دالة متصلة على المجال I=[a;b], اذا كانت f موجبة على المجال I فان :
b

a
f(x)dx ≥ 0

3.1.2 خاصية 2

لتكن f دالة متصلة على I=[a;b], اذا كانت f سالبة فان :
b

a
f(x)dx ≤ 0

3.1.3 خاصية 2

لتكن f و g دالتين معرفتين على I=[a;b]
اذا كانت f≤g على I فان:
b

a
f(x)dx ≤ b

a
g(x)dx

3.1.4 نتيجة

|b

a
f(x)dx| b

a
|f(x)|dx

3.2 القيمة الوسيطة

لتكن f دالة متصلة على I=[a;b] و m قيمتها الدنيا و M قيمتها القصوى
لدينا ∀x∈I: m ≤ f(x)≤M اذن :
m(b-a) ≤ b

a
f(x)dx ≤M(b-a)
اي
m ≤1b

a
f(x)dx ≤ M
b-a
وحسب مبرهنة القيمة الوسيطة فانه يوحد على الاقل عنصر c من I بحيث :
f(c)=1b

a
f(x)dx
b-a

بالتعريف العدد f(c) يسمى القيمة الوسيطة للدالة f على I

تمرين

لتكن f و g و h دوال معرفة على I=[0;1] كما يلي :
f(x)=(1+x²)-1 و g(x)=-0,5x+1 و h(x)=-0,5x²+1
1) بين ان ∀x∈I: g(x)≤f(x)≤h(x)
2) استنتج تأطيرا للعدد:
1

0
f(x)dx