4- تقنيات حساب التكامل :

4.1 استعمال مباشر للدوال الاصلية

مثال 1

تصحيح

نلاحظ ان
f(x)=2(x²-x+5)'(x²-x+5)=[(x²-x+5)²]'
اذن

2 ∫ 1

f(x)dx=[(x²-x+5)²]

2 1

=49-25=24

تمرين 1

احسب

3 ∫ 0	2x+1	dx
	√(x²+x+4)

تمرين 2

احسب

π/2 ∫ -π

cosx.sinx dx

تمرين 3

احسب

e ∫ 1	1	dx
	x(1+lnx)

تصحيح :

لدينا

(1+lnx)'=	1
	x

اذن :

	1	=	(1+lnx)'
	x(1+lnx)		1+lnx

ومنه فان:

e ∫ 1	1	dx=[ln(1+lnx)]	e 1	=ln(2)
	x(1+lnx)

تمرين 4

احسب التكامل التالي

K= -1∫0	x+1	dx
	x²+2x+2

تصحيح

نلاحظ ان (x²+2x+2)'=2x+2=2(x+1)
اذن _-1∫⁰f(x)dx=0,5ln|x²+2x+2|
K= 0,5.ln2 -0=ln(√(2))

4.2 التكامل بالاجزاء

لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على المجال I=[a;b]
لدينا ∀x∈I: (fg)'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)
اي f'(x).g(x)=(fg)'(x)-f(x)g'(x)

4.2.1 خاصية

لتكن f و g دالتين قابلتين للاشتقاق على المجال I=[a;b]

b ∫ a

f'(x).g(x)dx

= [f(x)g(x)]

b a

-

b ∫ a

f(x).g'(x) dx

1 تمرين

احسب التكامل التالي

I=

2 ∫ 1

2x.lnx dx

تصحيح

حساب I

u'(x)= 2x	;	v(x)=lnx
u(x)= x²	;	v'(x)=1/x

I= [x²lnx]	2 1	-	2 ∫ 1	x².1/x dx
= 4ln2 -0		-	2 ∫ 1	x dx
= 4ln2		-	[(1/2)x²]	2 1

اذن I=4ln2 -2+1/2=4ln2 - 1,5

2 تمرين

احسب التكامل التالي

J=

ln2 ∫ 0

(2x+1).ex dx

تصحيح

J=	ln2 ∫ 0	2x.exdx +	ln2 ∫ 0	ex dx
J=	J1	+	[ex]	ln2 0

J=J1+1
نحسب

J1=

ln2 ∫ 0

2xex dx

u(x)= 2x	;	v'(x)=ex
u'(x)= 2	;	v(x)=ex

J1= [2xex]	ln2 0	-	ln2 ∫ 0	2exdx
= 4ln2-0		-	[2ex]	ln2 0

اذن J1=4ln2 -2
ومنه فان
J=4ln2 -2+1 =4ln2 -1

3 تمرين

احسب التكامل التالي

K=

π ∫ 0

x².cos xdx

تصحيح

حساب K

u(x)= x²	;	v'(x)=cosx
u'(x)= 2x	;	v(x)=-sinx

K= [-x²sinx]	π 0	-	π ∫ 0	-2xsinxdx
= 0-0		+	π ∫ 0	2xsinxdx

=0+K2
نقوم مرة ثانية بمكاملة بالاجزاء للتكامل

K2=

π ∫ 0

2x.sinx dx

u(x)= 2x	;	v'(x)=sinx
u'(x)= 2	;	v(x)=cosx

K2= [2xcosx]	π 0	-	π ∫ 0	2cosxdx
=-2π-0		-	[2sinx]	π 0

K2=-2π ومنه فان K=0-2π=-2π