Intégrale d’une fonction

1- Intégrale d’une fonction continue sur un segment

1.1 Définition et notations

Soient f une fonction définie sur I=[a;b] et F une primitive de f.
Le nombre F(b)-F(a) est appelé intégrale de la fonction f de a à b et on écrit

b ∫ a	f(x)dx	= [F(x)]	b a

On lit somme f(x)dx de a à b ou intégrale de a à b de f(x)dx.

Remarque
1) Si G est une autre primitive de f alors

b ∫ a

f(x)dx

= [G(x)]

b a

= G(b)-G(a)=F(b)-F(a).

2) On peut utiliser autre lettre que x, par exemples t;u;..

b ∫ a	f(x)dx	=	b ∫ a	f(t)dt	= [F(t)]	b a

Exemple 1

2 ∫ 1

3x²dx

= [x³]

2 1

= 8-1=7

Exemple 2

e ∫( 2	1	)dx = [lnx]	e 2	= lne -ln2= 1-ln2
	x

1.1.2 Interprétation géométrique de l'integrale

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;i^→;j^→). On considère une fonction f continue et positive sur un intervalle [a ; b] et (C) sa courbr représentative. L'intégrale I définie par

I =

b ∫ a

f(x)dx

représente S, l'aire du domaine délimité par la courbe (C) ; l'axe des abscisses et les deux droites (D):x=a et (D'):x=b.

Démonstration
On subdivise le segment [a;b] en n subdivisions de largeur

δ=	b-a
	n

On considère les micros rectangles de largeur δ et de hauteur f(x_i).
L'aire de chaque rectangle est égal à δ.f(x_i).
Il y'a deux façons différentes de tracer ces rectangles.

Nous étudierons une seule façons, le cas d'une fonction croissante sur l'intervalle I et nous reviendrons sur ce paragraphe à la fin de ce tutoriel.
Première façon un des sommets de chaque rectangle est sous la courbe (C) et les deux sommets qui appartiennent à l'axe des abscisses
alors la somme de leurs surfaces est notée u_n.

u_n=δ.f(x₀) + δ.f(x₂) + .. + δ.f(x_n-1)

un = δ .

k=n-1 Σ k=0

f(a+kδ)

u_n est une approximation par défaut du surface S donc

un ≤

b ∫ a

f(x)dx

et quand n→+∞ alors la suite (u_n) tend vers S.