Calcul Intégral (2)
1.2 Les opérations et ordre
1.2.1 Intégrale et opérations
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] contenant c et k∈IR.
| b ∫ a |
f(x)dx = - | a ∫ b |
f(x)dx |
| a ∫ a | f(x)dx = 0 |
| b ∫ a |
kf(x)dx | = k | b ∫ a |
f(x)dx |
Relation de Chasles
| b ∫ a |
f(x)dx | = | c ∫ a |
f(x)dx + | b ∫ c |
f(x)dx |
Linéarité
b ∫ a |
(f(x)+g(x))dx | = | b ∫ a |
f(x)dx + | b ∫ a |
g(x)dx |
Exemple
| 3 ∫ 1 |
|2x-4|dx = | 2 ∫ 1 |
-(2x-4)dx | + | 3 ∫ 2 |
(2x-4)dx |
| = [-x²+4x] | 2 1 |
+ [x²-4x] | 3 2 |
= 4-3 + (-3)+4=2.
| ainsi | 3 ∫ 1 |
|2x-4|dx | = 2 |
1.2.2 Intégrale et Ordre
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
Si f est positive sur I alors F' est positive
et donc F est croissante sur [a;b].
F(b)-F(a) est donc un nombre positif.
Propriété 1
Soit f une fonction continue sur [a;b].
Si f est positive alors
| b ∫ a |
f(x)dx ≥ 0 |
Propriété 2
Soit f une fonction continue sur [a;b].
Si f est négative alors
| b ∫ a |
f(x)dx ≤ 0 |
Propriété 3
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle [a;b].
Si f≤g sur [a;b] alors
| b ∫ a |
f(x)dx ≤ | b ∫ a |
g(x)dx |
Résultat
| | | b ∫ a |
f(x)dx | | | ≤ | b ∫ a |
|f(x)|dx |
1.2.3 Valeur moyenne
Soient f une fonction continue sur un intervalle [a;b]
m sa valeur minimale et M sa valeur maximale.
On a (∀x∈I): m≤f(x)≤M.
| donc | m(b-a) ≤ | b ∫ a |
f(x)dx ≤ | M(b-a) |
| m ≤ | 1 | b ∫ a |
f(x)dx ≤ M |
| b-a |
d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un élément c dans I tel que
| f(c) = | 1 | b ∫ a |
f(x)dx |
| b-a |
Propriété et définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b].
Il existe au moins un élément c dans I tel que
| f(c) = | 1 | b ∫ a |
f(x)dx |
| b-a |
le nombre f(c) est appelé valeur moyenne de f.