5- حساب المساحات والحجوم

5.1 حساب المساحات

5.1.1 Iتقديم

وحدة قياس المساحة ;UA هي مساحة المستطيل OIKJ حيث i^→=OI^→ و j^→=OJ^→
نرمز ب S للمساحة المحصورة بين المنحنى Cf ومحور الافاصيل والمستقيمين (D): x=a و (D'): x=b
اذا كانت f تابتة اي f=k فان

اذا كانت f(x)=mx+p

b ∫ a

f(x)dx=[(m/2)x² + px]

b a

=(1/2).(f(a)+f(b)) = S
هي مساحة شبه المنحرف ABCD

5.1.2 خاصية 1

اذا كانت f دالة متصلة على المجال I=[a;b]
فان مساحة حيز المحصور بين المنحنى Cf ومحور الافاصيل والمستقيمين (D): x=a و (D'): x=b هي:

b ∫ a

|f(x)| dx .UA

5.1.3 خاصية 2

لتكن f و g دالتين معرفتين ومتصلتين على I=[a;b]
مساحة جزء المستوى المحصور بين المنحنيين Cf و Cg والمستقيمين (D): x=a و (D'): x=b هي :

b ∫ a

|f(x)-g(x)|dx.UA

مثال

||i^→||=2cm ; ||j^→||=3cm
f(x)=(0,25)x² ; g(x)=x^-1 و I=[0,5 ; 4]

4 ∫ 1/2	|f(x)-g(x)| dx .UA =
4 ∫ 0,5	|(0,25)x²-1/x| dx .2.3 cm² = 6.8,10366 =48,62196 cm²

5.2 حساب الحجوم

5.2.1 حجم مجسم

لتكن S(t) مساحة تقاطع مستوى مع مجسم , حجم المجسم المحدد بين المستويين , le Pa: x=a و Pb: x=b هو :

b ∫ a

S(t)dx .UV

5.2.2 حجم مجسم مولد بدوران

لتكن f دالة عددية متصلة على المجال I=[a;b], دوران المنحنى Cf دورة كاملة حول محور الافاصيل يولد مجسما , وتقاطع المستوى الذي معادلته x=t مع هذا المجسم هو دائرة مركزها f(t) ومساحتها π(f(t))²

V=

b ∫ a

π (f(x))²dx .UV

هو حجم المجسم المولد بدورة كاملة للمنحنى Cf حول محور الافاصيل ومحصور بين المستويين P: x=a ; P': x=b